1. Основной этап Решаем карточки в любом порядке, сначала первого уровня, затем второго уровня. Оформление, как при решении тестов. 1 уровень (сфера) 1. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см. 2. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16л см². 3. Найдите площадь сферы заданной уравнением (х – 2)2 + (y + 3)2 + z² = 16. 4. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см. 5. Запишите уравнение сферы, центром которой является точка О (0;0;0), а точка А (0;0;5) лежит на сфере. 6. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см. I

Задача 1: Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

• Площадь сферы находится по формуле: \[S = 4\pi r^2\]
• Подставляем значение радиуса: \[S = 4 \cdot \pi \cdot (3)^2 = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi\]

Ответ: \[S = 36\pi \text{ см}^2\]

Задача 2: Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см².

• Используем формулу площади сферы: \[S = 4\pi r^2\]
• Подставляем значение площади: \[16\pi = 4\pi r^2\]
• Выражаем радиус: \[r^2 = \frac{16\pi}{4\pi} = 4\]
• Находим радиус: \[r = \sqrt{4} = 2\]

Ответ: \[r = 2 \text{ см}\]

Задача 3: Найдите площадь сферы, заданной уравнением (x - 2)² + (y + 3)² + z² = 16.

• Уравнение сферы имеет вид: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]
• Из уравнения видно, что \[R^2 = 16\], следовательно, \[R = 4\]
• Площадь сферы: \[S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot (4)^2 = 4 \cdot \pi \cdot 16 = 64\pi\]

Ответ: \[S = 64\pi\]

Задача 4: Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

• Центральное сечение сферы - это круг радиуса, равного радиусу сферы.
• Площадь круга: \[S = \pi r^2\]
• Подставляем значение радиуса: \[S = \pi \cdot (5)^2 = 25\pi\]

Ответ: \[S = 25\pi \text{ см}^2\]

Задача 5: Запишите уравнение сферы, центром которой является точка О (0;0;0), а точка А (0;0;5) лежит на сфере.

• Общий вид уравнения сферы: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]
• Центр сферы О (0;0;0), следовательно, уравнение имеет вид: \[x^2 + y^2 + z^2 = R^2\]
• Точка А (0;0;5) лежит на сфере, подставляем её координаты: \[0^2 + 0^2 + 5^2 = R^2\]
• Получаем \[R^2 = 25\], значит R = 5/2 = 2.5 (середина отрезка между 0 и 5)
• Уравнение сферы: \[x^2 + y^2 + (z - 2.5)^2 = 6.25\]

Ответ: \[x^2 + y^2 + (z - 2.5)^2 = 6.25\]

Задача 6: Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

• Пусть O - центр сферы, A - точка касания сферы и плоскости, B - точка на касательной плоскости.
• OA = 5 см (радиус сферы), OB = 13 см (расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости).
• Треугольник OAB - прямоугольный (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости).
• По теореме Пифагора: \[AB^2 = OB^2 - OA^2\]
• Подставляем значения: \[AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\]
• Находим AB: \[AB = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: \[AB = 12 \text{ см}\]