Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28. BD =14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Доказательство:

Дано: трапеция ABCD, \( BC – \text{основание, } BC = 7 \), \( AD – \text{основание, } AD = 28 \). Диагональ \( BD = 14 \).

Доказать: \( Δ \text{CBD} ∼ Δ \text{BDA} \).

План доказательства:

Чтобы доказать подобие треугольников \( Δ \text{CBD} \) и \( Δ \text{BDA} \), нам нужно показать, что у них есть два равных угла (по первому признаку подобия) или пропорциональны соответствующие стороны (по второму признаку подобия).

1. Параллельность оснований: В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны.
2. Накрест лежащие углы: Так как \( BC ‖ AD \), то диагональ BD является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы равны: \( ∠ CBD = ∠ BDA \).
3. Отношение оснований: Найдем отношение длин оснований BC и AD: \( \frac{BC}{AD} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).
4. Отношение диагоналей: Треугольники \( Δ \text{CBD} \) и \( Δ \text{BDA} \) имеют общую сторону BD, которая является диагональю для обоих треугольников. Нам дано \( BD = 14 \).
5. Проверка пропорциональности сторон: Давайте рассмотрим отношение сторон. В \( Δ \text{CBD} \) сторона BC равна 7, а сторона BD равна 14. В \( Δ \text{BDA} \) сторона AD равна 28, а сторона BD равна 14.
6. Рассмотрим отношение сторон:
• Отношение основания \( Δ \text{CBD} \) к основанию \( Δ \text{BDA} \): \( \frac{BC}{AD} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).
• Отношение диагонали \( BD \) в \( Δ \text{CBD} \) к диагонали \( AC \) в \( Δ \text{BDA} \) — нам неизвестна AC.
• Рассмотрим другие стороны:
• В \( Δ \text{CBD} \) сторона CD.
• В \( Δ \text{BDA} \) сторона AB.
7. Переосмыслим подобие: Возможно, подобие строится иначе. Попробуем рассмотреть отношение сторон, исходящих из равных углов.
8. У нас есть равные углы \( ∠ CBD = ∠ BDA \).
9. Рассмотрим отношение сторон, прилежащих к этим углам.
10. В \( Δ \text{CBD} \) прилегающие стороны к \( ∠ CBD \) — это BC (7) и BD (14).
11. В \( Δ \text{BDA} \) прилегающие стороны к \( ∠ BDA \) — это AD (28) и BD (14).
12. Проверим пропорциональность: \( \frac{BC}{BD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{BD}{AD} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \).
13. Мы видим, что \( \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2} \).
14. Таким образом, у нас есть одна пара равных углов (\( ∠ CBD = ∠ BDA \)) и пропорциональные стороны, прилежащие к этим углам.
15. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( Δ \text{CBD} \) и \( Δ \text{BDA} \) подобны.

Вывод:

1. \( BC ‖ AD \) (по условию — основания трапеции).

2. \( ∠ CBD = ∠ BDA \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

3. \( \frac{BC}{BD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \).

4. \( \frac{BD}{AD} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \).

5. Так как \( \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} \) и \( ∠ CBD = ∠ BDA \), то по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия) \( Δ \text{CBD} ∼ Δ \text{BDA} \).

Что и требовалось доказать.