4.Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 20, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{\sqrt{13}}{7}\). Найдите площадь трапеции.

Ответ: 350

1. Пусть \(h\) - высота трапеции, а \(c\) - боковая сторона (равна 20). Косинус угла между боковой стороной и основанием равен \(\frac{\sqrt{13}}{7}\).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью основания. Тогда:

   \[\cos(\alpha) = \frac{x}{c}\]

   где \(x\) - прилежащий катет (часть основания).

   Найдем \(x\):

   \[x = c \cdot \cos(\alpha) = 20 \cdot \frac{\sqrt{13}}{7} = \frac{20\sqrt{13}}{7}\]

2. Теперь найдем высоту \(h\), используя теорему Пифагора:

   \[h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{20^2 - \left(\frac{20\sqrt{13}}{7}\right)^2} = \sqrt{400 - \frac{400 \cdot 13}{49}} = \sqrt{400 \left(1 - \frac{13}{49}\right)}\] \[h = \sqrt{400 \cdot \frac{36}{49}} = 20 \cdot \frac{6}{7} = \frac{120}{7}\]

3. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

   где \(a\) и \(b\) - основания трапеции.

4. Подставляем известные значения:

   \[S = \frac{7 + 42}{2} \cdot \frac{120}{7} = \frac{49}{2} \cdot \frac{120}{7} = \frac{7}{2} \cdot 120 = 7 \cdot 60 = 420\]

Ответ: 420