Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобедренная трапеция с основаниями \( AD = 7 \) см и \( BC = 3 \) см. Боковые стороны \( AB = CD \). Диагональ \( AC \) делит тупой угол \( \angle BCD \) пополам, то есть \( \angle BCA = \angle ACD \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle BCA = \angle CAD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

Из равенства \( \angle BCA = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle CAD \) следует, что \( \angle ACD = \angle CAD \).

В треугольнике \( \triangle ADC \) углы \( \angle ACD \) и \( \angle CAD \) равны, следовательно, треугольник \( \triangle ADC \) равнобедренный с основанием \( CD \). Значит, \( CD = AD \).

По условию \( AD = 7 \) см, следовательно, \( CD = 7 \) см.

Так как трапеция равнобедренная, то \( AB = CD = 7 \) см.

Периметр трапеции \( P = AD + BC + AB + CD \).

\( P = 7 + 3 + 7 + 7 = 24 \) см.

Ответ: 24 см.