Основания равнобедренной трапеции равны 240 и 70. Радиус описанной окружности равен 125. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \(a = 240\) и \(b = 70\), а радиус описанной окружности \(R = 125\).

Так как трапеция равнобедренная, она является вписанной в окружность. Обозначим высоту трапеции через \(h\).

Высота трапеции может быть найдена как сумма или разность радиусов, проведенных к основаниям, или как разность радиуса и расстояния от центра окружности до основания.

Пусть \(O\) — центр окружности. Так как центр лежит внутри трапеции, он находится между основаниями. Обозначим расстояния от центра до оснований как \(r_1\) и \(r_2\). Тогда \(h = r_1 + r_2\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной основания и отрезком, соединяющим центр с серединой основания.

Для большего основания \(a=240\), половина основания равна \(a/2 = 120\). Пусть расстояние от центра до этого основания равно \(r_1\). По теореме Пифагора:

\[ R^2 = (a/2)^2 + r_1^2 \]\[ 125^2 = 120^2 + r_1^2 \]\[ 15625 = 14400 + r_1^2 \]\[ r_1^2 = 15625 - 14400 = 1225 \]\[ r_1 = \sqrt{1225} = 35 \]

Для меньшего основания \(b=70\), половина основания равна \(b/2 = 35\). Пусть расстояние от центра до этого основания равно \(r_2\).

Так как центр лежит внутри трапеции, то \(r_1\) и \(r_2\) находятся по разные стороны от центра, если рассматривать их как расстояния от центра до хорд. Однако, если рассматривать их как расстояния от центра до плоскостей, содержащих основания, то сумма будет равна высоте.

Для меньшего основания \(b=70\), половина основания равна \(b/2 = 35\). Пусть расстояние от центра до этого основания равно \(r_2\).

\[ R^2 = (b/2)^2 + r_2^2 \]\[ 125^2 = 35^2 + r_2^2 \]\[ 15625 = 1225 + r_2^2 \]\[ r_2^2 = 15625 - 1225 = 14400 \]\[ r_2 = \sqrt{14400} = 120 \]

Высота трапеции \(h\) равна сумме расстояний от центра окружности до оснований, так как центр лежит внутри трапеции.

\[ h = r_1 + r_2 = 35 + 120 = 155 \]

Ответ: 155.