Основанием прямой призмы ABC A1B1C1 является вписанный в окружность с радиусом 4 равнобедренный треугольник с углом в 30° при основании. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна боковой стороне основания. При решении задания необходимо сделать рисунок. К заданию приведите развёрнутое решение (обоснованный ответ). Не округляйте числа в случае, если это не написано в формулировке задания. Иррациональные числа (например, √3, √2, π и пр.) оставляйте в этом же виде (√3, √2, π и пр.), если иного не указано в формулировке задания. Освобождайте знаменатель от иррациональности. Перед выполнением каждого задания обязательно подпишите работу от руки. В верхней части листа укажите свои имя, фамилию, класс. Если работа будет не подписана или подписана с ошибками, её не смогут взять на проверку.

Решение:

1. Нахождение сторон основания:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом \( R = 4 \). Угол при основании равен \( \alpha = 30^{\circ} \).
2. Пусть боковая сторона треугольника равна \( b \), а основание \( a \).
3. По теореме синусов: \( \frac{a}{\sin(\beta)} = \frac{b}{\sin(\gamma)} = 2R \), где \( \beta \) — угол при вершине, \( \gamma = \alpha = 30^{\circ} \) — углы при основании.
4. Сумма углов треугольника: \( \beta + 2\alpha = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \beta = 180^{\circ} - 2 \cdot 30^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
5. Найдём основание \( a \): \( \frac{a}{\sin(120^{\circ})} = 2 \cdot 4 = 8 \). \( a = 8 \sin(120^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \).
6. Найдём боковую сторону \( b \): \( \frac{b}{\sin(30^{\circ})} = 8 \). \( b = 8 \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \).

2. Нахождение площади основания:

1. Площадь равнобедренного треугольника: \( S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h \), где \( h \) — высота, проведённая к основанию.
2. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам: \( \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \).
3. Высоту \( h \) можно найти по теореме Пифагора: \( b^2 = h^2 + (a/2)^2 \) \( \Rightarrow h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 \).
4. Или через тригонометрию: \( h = b \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
5. \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3} \).

3. Нахождение площади боковой поверхности:

1. Высота призмы \( H \) равна боковой стороне основания, то есть \( H = b = 4 \).
2. Периметр основания: \( P_{осн} = a + 2b = 4\sqrt{3} + 2 \cdot 4 = 4\sqrt{3} + 8 \).
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (4\sqrt{3} + 8) \cdot 4 = 16\sqrt{3} + 32 \).

4. Нахождение площади полной поверхности:

1. Площадь полной поверхности призмы: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
2. \( S_{полн} = 2 \cdot (4\sqrt{3}) + (16\sqrt{3} + 32) = 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 32 = 24\sqrt{3} + 32 \).

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \( 32 + 24\sqrt{3} \).