Основанием пирамиды является квадрат со стороной 12 см. Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см. Вычисли площадь боковой поверхности.

Решение:

Задана пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной \( a = 12 \text{ см} \).

Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и имеет длину \( h = 9 \text{ см} \). Это означает, что данное боковое ребро является высотой пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей четырёх боковых граней. Так как основание — квадрат, то боковые грани — равные треугольники.

Высота боковой грани (апофема), \( l \), находится по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( l \).

\( \frac{a}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \)

\[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

\[ l^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117 \]

\[ l = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \text{ см} \]

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:

\[ S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 3\sqrt{13} \text{ см} = 18\sqrt{13} \text{ см}^2 \]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней:

\[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot 18\sqrt{13} \text{ см}^2 = 72\sqrt{13} \text{ см}^2 \]

Приблизительное значение \( \sqrt{13} \approx 3.6 \)

\[ S_{\text{бок}} \approx 72 \cdot 3.6 \text{ см}^2 \approx 259.2 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 72\(\sqrt{13}\) см².