243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB = AC = 13 см, BC = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения задачи необходимо найти площади каждой из боковых граней пирамиды и сложить их. 1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Проведем высоту AH к основанию BC. Так как треугольник равнобедренный, AH также является медианой, поэтому BH = HC = BC / 2 = 10 / 2 = 5 см. 2. Найдем высоту AH по теореме Пифагора из треугольника ABH: $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см 3. Площадь треугольника ABC (основания пирамиды): $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ см$$^2$$ 4. Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как AD перпендикулярно плоскости основания. Его площадь: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58.5$$ см$$^2$$ 5. Рассмотрим треугольник ACD. Он также прямоугольный, так как AD перпендикулярно плоскости основания. Его площадь: $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58.5$$ см$$^2$$ 6. Рассмотрим треугольник DBC. Найдем длину DB и DC по теореме Пифагора: $$DB = \sqrt{AD^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81+25} = \sqrt{106} \approx 10.3$$ см $$DC = \sqrt{AD^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81+25} = \sqrt{106} \approx 10.3$$ см 7. Так как DB = DC, то треугольник DBC равнобедренный. Найдем высоту DK к основанию BC. $$DK = \sqrt{DB^2 - BK^2} = \sqrt{(\sqrt{106})^2 - 5^2} = \sqrt{106 - 25} = \sqrt{81} = 9$$ см 8. Площадь треугольника DBC: $$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45$$ см$$^2$$ 9. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней: $$S_{бок} = S_{ABD} + S_{ACD} + S_{DBC} = 58.5 + 58.5 + 45 = 162$$ см$$^2$$ Ответ: 162 см$$^2$$