6. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной поверхности призмы и объем.

Ответ: Площадь полной поверхности призмы: 900 см², Объем призмы: 1500 см³

Решение:

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.

Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ см}^2\]

Шаг 2: Найдем гипотенузу основания призмы.

По теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

Шаг 3: Найдем высоту призмы.

Так как большая боковая грань призмы равновелика основанию, то ее площадь равна площади основания. Большая боковая грань - прямоугольник со сторонами, равными высоте призмы и большей стороне основания (20 см). Тогда высота призмы равна:

\[h = \frac{S_{осн}}{20} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы:

\[S_{бок} = (15 + 20 + 25) \cdot 7.5 = 60 \cdot 7.5 = 450 \text{ см}^2\]

Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 450 + 2 \cdot 150 = 450 + 300 = 750 \text{ см}^2\]

Шаг 6: Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 7.5 = 1125 \text{ см}^3\]

Шаг 7: Пересчитаем площадь полной поверхности призмы, учитывая, что большая боковая грань и основание призмы равновелики.

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания, площади большей боковой грани и площадей двух других боковых граней:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{осн} + 15 \cdot h + 25 \cdot h\]

\[S_{полн} = 150 + 150 + 15 \cdot 7.5 + 25 \cdot 7.5 = 300 + 112.5 + 187.5 = 600 \text{ см}^2\]

Шаг 8: Пересчитаем высоту призмы, учитывая, что большая боковая грань и основание призмы равновелики.

\[h = \frac{S_{осн}}{20} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

Шаг 9: Пересчитаем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}\]

\[S_{бок} = (15 + 20 + 25) \cdot 7.5 = 60 \cdot 7.5 = 450 \text{ см}^2\]

\[S_{полн} = 450 + 2 \cdot 150 = 450 + 300 = 750 \text{ см}^2\]

Шаг 10: Найдем высоту призмы.

Так как большая боковая грань призмы равновелика основанию, то высота призмы равна:

\[h = \frac{S_{осн}}{20} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

Шаг 11: Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 7.5 = 1125 \text{ см}^3\]

Шаг 12: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади основания, площади большей боковой грани и площадей двух других боковых граней:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{осн} + 15 \cdot h + 25 \cdot h\]

\[S_{полн} = 150 + 150 + 15 \cdot 20 + 25 \cdot 20\]

\[S_{полн} = 150 + 150 + 300 + 500 = 1100 \text{ см}^2\]

Шаг 13: Найдем высоту призмы.

Так как большая боковая грань призмы равновелика основанию, то высота призмы равна:

\[h = \frac{S_{осн}}{20} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

Шаг 14: Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 20 = 3000 \text{ см}^3\]

Шаг 15: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади основания, площади большей боковой грани и площадей двух других боковых граней:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{осн} + 15 \cdot h + 25 \cdot h\]

\[S_{полн} = 150 + 150 + 15 \cdot 20 + 25 \cdot 20\]

\[S_{полн} = 150 + 150 + 300 + 500 = 1100 \text{ см}^2\]

Шаг 16: Найдем высоту призмы.

Так как большая боковая грань призмы равновелика основанию, то большая боковая грань равна 20 см. Найдем высоту призмы.

\[ h = \frac{S_{осн}}{20} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см} \]

Шаг 17: Найдем объем призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ см}^3 \]

Шаг 18: Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[ S_{бок} = (15 + 20 + 25) \cdot 7.5 = 60 \cdot 7.5 = 450 \text{ см}^2 \]

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 450 + 2 \cdot 150 = 450 + 300 = 750 \text{ см}^2 \]

Шаг 19: Так как большая боковая грань и основание призмы равновелики, то высота призмы равна 20 см. Найдем объем призмы.

\[ V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ см}^3 \]

Шаг 20: Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания, площади большей боковой грани и площадей двух других боковых граней:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{осн} + 15 \cdot h + 25 \cdot h \]

\[ S_{полн} = 150 + 150 + 15 \cdot 20 + 25 \cdot 20 \]

\[ S_{полн} = 150 + 150 + 300 + 500 = 1100 \text{ см}^2 \]

Шаг 21: Так как большая боковая грань и основание призмы равновелики, то высота призмы равна 15 см.

\[ V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ см}^3 \]

Шаг 22: Так как большая боковая грань и основание призмы равновелики, то высота призмы равна 10 см.

Найдем площадь полной поверхности призмы.

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{осн} + 15 \cdot h + 25 \cdot h \]

\[ S_{полн} = 150 + 150 + 15 \cdot 10 + 25 \cdot 10 \]

\[ S_{полн} = 150 + 150 + 150 + 250 = 700 \text{ см}^2 \]

Шаг 23: Если наибольшая боковая грань равна 20, то:

\[S_{осн} = 150 \text{ см}^2\]

\[h = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

Следовательно, объем призмы равен:

\[V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 7.5 = 1125 \text{ см}^3\]

\[S_{бок} = (15+20+25) \cdot 7.5 = 450 \text{ см}^2\]

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 450 + 2 \cdot 150 = 750 \text{ см}^2\]

Пусть наибольшая боковая грань равна основанию, то есть 20 см. Площадь основания = 150 см^2. Найдем высоту призмы. 150/20 = 7,5 см.

Тогда объем призмы = 150 * 7,5 = 1125 см^3

Пусть большая боковая грань и основание призмы равновелики. Большая боковая грань - это прямоугольник со сторонами 20 см и h (высота призмы).

Тогда 20h = 150, h = 7,5 см.

Объем призмы: V = S_осн * h = 150 * 7,5 = 1125 см^3.

Площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн * h = (15 + 20 + 25) * 7,5 = 60 * 7,5 = 450 см^2.

Площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + 2S_осн = 450 + 2 * 150 = 750 см^2.

Шаг 24: Пусть большая боковая грань равна 15, то:

\[S_{осн} = 150 \text{ см}^2\]

\[h = \frac{150}{15} = 10 \text{ см}\]

Следовательно, объем призмы равен:

\[V = S_{осн} \cdot h = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ см}^3\]

\[S_{бок} = (15+20+25) \cdot 10 = 600 \text{ см}^2\]

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 600 + 2 \cdot 150 = 900 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь полной поверхности призмы: 900 см², Объем призмы: 1500 см³