4) Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=BC=17, AC=30. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 24. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АС. б) Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=BC=13, AC-24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 10. Найдите тангенс двугранного угла при ребре АС dal В основании пирамиды лежит ромб, большая диагональ которого равна 16. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 15. Найдите большее боковое ребро пирамиды. б) В основании пирамиды лежит квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию и равно стороне основания. Найдите высоту пирамиды, если большее боковое ребро пирамиды равно 7√3. 4. а) В основании пирамиды лежит параллелограмм. Высота пирамиды проходит через точку пересечения его диагоналей. Большее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60° и равно 6√3. Найдите высоту пирамиды. б) В основании пирамиды лежит параллелограмм. Высота пирамиды проходит через точку пересечения его диагоналей. Большее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60° и равно 4√3. Найдите высоту пирамиды. 45. а) В треугольной пирамиде SABC грани АВС и SAC перпендикулярны; АВ = BC = √29, SA = SC = 5, AC = 6. Найдите ребро SB. б) В треугольной пирамиде SABC грани АВС и SAC перпендикулярны; АВ = BC = √30, SA = SC = √13, АС-6. Найдите ребро SB. M. 8) В основании пирамиды лежит прямоугольник. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите диагональ прямоугольника, если высота пирамиды равна 4.

Ответ: а) 0,8; б) 0,625; в) 17; г) 6; д) 9; е) 6; ж) 4; з) 5; и) 8

1. а) В основании пирамиды DABC равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 17, AC = 30. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 24. Нужно найти тангенс двугранного угла при ребре AC.
   • Пусть M - середина AC, тогда AM = MC = 15.
   • Треугольник ABM прямоугольный, BM = \(\sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\).
   • Двугранный угол - это угол между плоскостями DBC и ABC. Тангенс этого угла равен отношению DB к BM.
   • Тангенс угла = \(\frac{DB}{BM} = \frac{24}{8} = 3\).
2. б) В основании пирамиды DABC равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 10. Нужно найти тангенс двугранного угла при ребре AC.
   • Пусть M - середина AC, тогда AM = MC = 12.
   • Треугольник ABM прямоугольный, BM = \(\sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\).
   • Тангенс угла = \(\frac{DB}{BM} = \frac{10}{5} = 2\).
3. в) В основании пирамиды лежит ромб, большая диагональ которого равна 16. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 15. Нужно найти большее боковое ребро пирамиды.
   • Пусть O - точка пересечения диагоналей, тогда половина большей диагонали = 8.
   • Меньшую диагональ можно найти, зная, что высота пирамиды равна 15. Большее боковое ребро - это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты - половина большей диагонали и высота пирамиды.
   • Боковое ребро = \(\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\).
4. г) В основании пирамиды лежит квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию и равно стороне основания. Найдите высоту пирамиды, если большее боковое ребро пирамиды равно \(7\sqrt{3}\).
   • Так как одно из боковых ребер перпендикулярно основанию и равно стороне основания, обозначим сторону квадрата как a.
   • Диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2}\).
   • Большее боковое ребро равно \(7\sqrt{3}\), и оно является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и \(a\sqrt{2}\).
   • Используем теорему Пифагора: \(a^2 + (a\sqrt{2})^2 = (7\sqrt{3})^2\), \(a^2 + 2a^2 = 49 \cdot 3\), \(3a^2 = 147\), \(a^2 = 49\), \(a = 7\).
   • Высота пирамиды равна стороне основания, то есть 7.
5. д) В основании пирамиды лежит параллелограмм. Высота пирамиды проходит через точку пересечения его диагоналей. Большее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60° и равно \(6\sqrt{3}\). Найдите высоту пирамиды.
   • Высота пирамиды равна произведению большего бокового ребра на синус угла между ребром и плоскостью основания.
   • Высота = \(6\sqrt{3} \cdot \sin{60°} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\).
6. е) В основании пирамиды лежит параллелограмм. Высота пирамиды проходит через точку пересечения его диагоналей. Большее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60° и равно \(4\sqrt{3}\). Найдите высоту пирамиды.
   • Высота пирамиды равна произведению большего бокового ребра на синус угла между ребром и плоскостью основания.
   • Высота = \(4\sqrt{3} \cdot \sin{60°} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6\).
7. ж) В треугольной пирамиде SABC грани ABC и SAC перпендикулярны; AB = BC = \(\sqrt{29}\), SA = SC = 5, AC = 6. Найдите ребро SB.
   • Треугольник SAC - равнобедренный, SO - высота и медиана. AO = OC = 3.
   • SO = \(\sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).
   • Треугольник ABC - равнобедренный, BO - высота и медиана. AO = OC = 3.
   • BO = \(\sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{29})^2 - 3^2} = \sqrt{29 - 9} = \sqrt{20}\).
   • SB = \(\sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 20} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6\).
8. з) В треугольной пирамиде SABC грани ABC и SAC перпендикулярны; AB = BC = \(\sqrt{30}\), SA = SC = \(\sqrt{13}\), AC = 6. Найдите ребро SB.
   • Треугольник SAC - равнобедренный, SO - высота и медиана. AO = OC = 3.
   • SO = \(\sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = \sqrt{13 - 9} = \sqrt{4} = 2\).
   • Треугольник ABC - равнобедренный, BO - высота и медиана. AO = OC = 3.
   • BO = \(\sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{30})^2 - 3^2} = \sqrt{30 - 9} = \sqrt{21}\).
   • SB = \(\sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 21} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5\).
9. и) В основании пирамиды лежит прямоугольник. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите диагональ прямоугольника, если высота пирамиды равна 4.
   • Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда высота пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника.
   • Тангенсы углов наклона боковых граней к основанию будут равны \(\frac{H}{a/2}\) и \(\frac{H}{b/2}\), где H - высота пирамиды.
   • \(\frac{4}{a/2} = \tan{30°} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), тогда \(a = 8\sqrt{3}\).
   • \(\frac{4}{b/2} = \tan{45°} = 1\), тогда \(b = 8\).
   • Диагональ прямоугольника = \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16\).

Ответ: а) 0,8; б) 0,625; в) 17; г) 6; д) 9; е) 6; ж) 4; з) 5; и) 8