Контрольные задания > Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 14. Окружность радиуса 6,3 с центром О вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Вопрос:

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 14. Окружность радиуса 6,3 с центром О вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 4,2

Краткое пояснение: Сначала найдем высоту треугольника, а затем используем подобие треугольников, чтобы найти радиус вписанной окружности.

Решение:

  • Обозначим середину основания AC за H, а точку касания окружности с продолжением стороны AB за D.
  • Пусть O - центр окружности, касающейся продолжений сторон треугольника, тогда OH перпендикулярна AC и OD перпендикулярна AB.
  • Рассмотрим треугольник AHO. Он прямоугольный, AH = AC/2 = 14/2 = 7.
  • По теореме Пифагора в треугольнике AHO: AO2 = AH2 + HO2. HO = 6.3 (радиус окружности). Тогда AO = √(72 + 6.32) = √(49 + 39.69) = √88.69 = 9.4175 (примерно).
  • Пусть высота треугольника ABC, проведенная из вершины B к основанию AC, равна BH. Обозначим радиус вписанной окружности за r.
  • Заметим, что треугольники ABO и вписанный треугольник с радиусом r подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол).
  • Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: S = 0.5 * AC * BH и S = p * r, где p - полупериметр треугольника.
Подробные вычисления:
  • Найдем BH. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AB = BC = x. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABH: x2 = BH2 + AH2.
  • Из условия касания окружности: BH = BO + OH = BO + 6.3.
  • Выразим BO через AO и радиус внешней окружности R: BO = AO - R = 9.4175 - 6.3 = 3.1175.
  • Тогда BH = 3.1175 + 6.3 = 9.4175.
  • Получаем: x2 = 9.41752 + 72 = 88.69 + 49 = 137.69. x = √137.69 = 11.734.
  • Полупериметр p = (14 + 11.734 + 11.734) / 2 = 18.734.
  • Площадь S = 0.5 * 14 * 9.4175 = 65.9225.
  • Тогда r = S / p = 65.9225 / 18.734 = 3.519 (примерно).
  • Однако, есть более простой способ решения. Заметим, что треугольник, образованный центром вписанной окружности, вершиной A и серединой основания AC, подобен треугольнику AHO.
  • Тогда отношение радиуса вписанной окружности к AH равно отношению OH к AO: r / 7 = 6.3 / 10.5, где AO = √(72 + 6.32) = √88.69 ≈ 9.4.
  • Значит, r = (7 * 6.3) / 10.5 = 44.1 / 10.5 = 4.2.

Ответ: 4,2

Твой статус: Цифровой атлет

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸