1. Определите верность/неверность следующих тождеств. № Тождества верно неверно 1 cos² a 1-cos² a = ctg² a 2 sin² a 1-cos a = 1 + cos a

Ответ: 1 - верно, 2 - верно

Решение:

1. Проверим первое тождество: \[\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha\]

• Преобразуем знаменатель, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\]
• Тогда выражение принимает вид: \[\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \ctg^2 \alpha\]
• Так как \(\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\), то \[\ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\]
• Следовательно, первое тождество верно.

2. Проверим второе тождество: \[\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = 1 + \cos \alpha\]

• Преобразуем числитель, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\]
• Тогда выражение принимает вид: \[\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = 1 + \cos \alpha\]
• Разложим числитель как разность квадратов: \[1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)\]
• Тогда выражение принимает вид: \[\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} = 1 + \cos \alpha\]
• Сокращаем дробь: \[1 + \cos \alpha = 1 + \cos \alpha\]
• Следовательно, второе тождество верно.

Ответ: 1 - верно, 2 - верно