Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаОпределите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком функции y = (4x - 5) / (4x^2 - 5x) ровно одну общую точку.
Ответ:
Уравнение имеет вид: kx = (4x - 5) / (4x^2 - 5x).
При x != 0 и x != sqrt(5)/2, x != -sqrt(5)/2, kx(4x^2 - 5x) = 4x - 5.
4kx^3 - 5kx^2 - 4x + 5 = 0.
При k = 4/5, 4(4/5)x^3 - 5(4/5)x^2 - 4x + 5 = 0 => (16/5)x^3 - 4x^2 - 4x + 5 = 0.
При k = 0, -4x + 5 = 0 => x = 5/4. Это одна точка.
При k = 1, 4x^3 - 5x^2 - 4x + 5 = 0. x^2(4x - 5) - (4x - 5) = 0 => (x^2 - 1)(4x - 5) = 0. x = 1, x = -1, x = 5/4. Три точки.
При k = -1, -4x^3 - 5x^2 - 4x + 5 = 0. 4x^3 + 5x^2 + 4x - 5 = 0. Есть один действительный корень.
При k = 4/5, (16/5)x^3 - 4x^2 - 4x + 5 = 0. (4x-5)(4x^2/5 - 4x/5 - 1) = 0. x = 5/4. x = (4 +- sqrt(16 + 80))/8 = (4 +- sqrt(96))/8 = (4 +- 4sqrt(6))/8 = (1 +- sqrt(6))/2. Три точки.
При k = 0, y = 0. 0 = (4x - 5) / (4x^2 - 5x). 4x - 5 = 0. x = 5/4. Одна точка.
При k = 4/5, y = (4/5)x. (4/5)x = (4x - 5) / (4x^2 - 5x). 4x(4x^2 - 5x) = 5(4x - 5). 16x^3 - 20x^2 = 20x - 25. 16x^3 - 20x^2 - 20x + 25 = 0. (4x-5)(4x^2 - 5) = 0. x = 5/4, x = sqrt(5)/2, x = -sqrt(5)/2. Три точки.
При k = 1, y = x. x = (4x - 5) / (4x^2 - 5x). x(4x^2 - 5x) = 4x - 5. 4x^3 - 5x^2 = 4x - 5. 4x^3 - 5x^2 - 4x + 5 = 0. (x^2 - 1)(4x - 5) = 0. x = 1, x = -1, x = 5/4. Три точки.
При k = -1, y = -x. -x = (4x - 5) / (4x^2 - 5x). -x(4x^2 - 5x) = 4x - 5. -4x^3 + 5x^2 = 4x - 5. 4x^3 - 5x^2 + 4x - 5 = 0. (x - 5/4)(4x^2 + 4) = 0. x = 5/4. Одна точка.
Ответ: k = 0, k = -1.
