Определите корень уравнения \(\sqrt{5x} = 2 \frac{1}{2} x\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение:

Дано уравнение: \(\sqrt{5x} = 2 \frac{1}{2} x\).

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \).
2. Уравнение принимает вид: \(\sqrt{5x} = \frac{5}{2} x\).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \((\sqrt{5x})^2 = (\frac{5}{2} x)^2\)
4. \(5x = \frac{25}{4} x^2\)
5. Перенесём все члены в одну сторону: \(\frac{25}{4} x^2 - 5x = 0\)
6. Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(\frac{25}{4} x - 5) = 0\)
7. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \(x = 0\)
• \(\frac{25}{4} x - 5 = 0 \Rightarrow \frac{25}{4} x = 5 \Rightarrow x = 5 \cdot \frac{4}{25} \Rightarrow x = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\)
8. Корни уравнения: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{4}{5}\).
9. Сравним корни: \(0 < \frac{4}{5}\).
10. Больший корень — \(\frac{4}{5}\).

Ответ: \(\frac{4}{5}\)