Решение:
В задании необходимо определить, являются ли выделенные слова предлогами (пишутся раздельно с последующим словом) или наречиями/существительными с предлогами (пишутся слитно или раздельно в зависимости от контекста).
- в начале диссертации — в начале он говорил о делах.
- в разрез на пальце попала инфекция – в разрез с чьим-то мнением.
- вовремя лекции - вовремя вернуться.
- хранить что-либо втайне — действовать в тайне.
- вступить вброд реки — перейти реку в брод.
- верить вправду — он в правду не знал, что сказать.
- надеть платок на голову — разбить врага на голову.
- отдать туфли в растяжку — говорить медленно, в растяжку.
- идти на смерть — насмерть испугаться.
- тридцать лет от роду — от роду ничего не видеть.
- прийти в пору — сапоги впору.
- убеждён в праве на что-либо — он вправе так поступить.
- смотреть вдаль — вглядываться в даль.
- наконец палки повесить что-либо — он на конец пришёл.
- навек минувший нечего пенять — расстаться на век.
- надеяться на удачу — двигаться наудачу.
Ответ: в начале; в; вовремя; втайне, в тайне; вброд, в брод; вправду, в правду; на голову; в растяжку; насмерть, на смерть; от роду; впору, в пору; вправе, в праве; вдаль, в даль; наконец, на конец; навек, на век; на удачу, наудачу.