Определи возможное расположение четвертой вершины. На координатной плоскости даны вершины трапеции A(1;1), B(4;2), C(5;5). Найди координаты точки D, чтобы ABCD была трапецией с основаниями BC и AD.

Трапеция ABCD с основаниями BC и AD означает, что BC || AD. Чтобы найти координаты точки D, необходимо определить уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1) и параллельной прямой BC. Найдем угловой коэффициент прямой BC:

$$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5-2}{5-4} = \frac{3}{1} = 3$$

Так как AD || BC, угловой коэффициент прямой AD также равен 3.

$$k_{AD} = 3$$

Уравнение прямой AD имеет вид y = 3x + b. Подставим координаты точки A(1;1) в уравнение, чтобы найти b:

$$1 = 3 \cdot 1 + b$$

$$b = 1 - 3 = -2$$

Таким образом, уравнение прямой AD: y = 3x - 2.

Точка D должна лежать на этой прямой. Координаты точки D могут быть различными, но должны удовлетворять уравнению y = 3x - 2. Например, если x = 2, то y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4. Таким образом, D(2;4) – один из возможных вариантов.

Другой вариант: если x = 3, то y = 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7. Тогда D(3;7).

Теперь нужно проверить, что ABCD – трапеция, то есть AB и CD не параллельны. Найдем угловой коэффициент прямой AB:

$$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2-1}{4-1} = \frac{1}{3}$$

Найдем угловой коэффициент прямой CD для точки D(2;4):

$$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{4-5}{2-5} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$$

В этом случае AB || CD, то есть ABCD – параллелограмм, а не трапеция. Следовательно, нужно взять другую точку D.

Проверим для точки D(3;7):

$$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{7-5}{3-5} = \frac{2}{-2} = -1$$

Так как kAB
eq kCD, то AB и CD не параллельны, и ABCD – трапеция.

Итак, один из возможных вариантов координат точки D: (3;7).