Определи скалярное произведение данных векторов, если длина ребра куба равна 2 ед. изм.

Решение:

Длина ребра куба равна \( a = 2 \) ед. изм.

Векторы \( \vec{BB_1} \) и \( \vec{DD_1} \) параллельны и сонаправлены, поэтому угол между ними равен 0 градусов. Их длина равна длине ребра куба.

\( \vec{BB_1} \cdot \vec{DD_1} = |\vec{BB_1}| \cdot |\vec{DD_1}| \cdot \cos(0^{\circ}) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \)

Вектор \( \vec{AB_1} \) и \( \vec{C_1D} \) перпендикулярны. Вектор \( \vec{C_1D} \) параллелен вектору \( \vec{BA} \).

\( \vec{AB_1} \cdot \vec{C_1D} = \vec{AB_1} \cdot \vec{BA} \). Угол между \( \vec{AB_1} \) и \( \vec{BA} \) равен 90 градусов.

\( \vec{AB_1} \cdot \vec{C_1D} = |\vec{AB_1}| \cdot |\vec{C_1D}| \cdot \cos(90^{\circ}) = 0 \)

Вектор \( \vec{AC} \) — диагональ грани куба, вектор \( \vec{BC} \) — ребро куба. Угол между ними равен 45 градусов.

\( |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( |\vec{BC}| = 2 \)

\( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(45^{\circ}) = 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \)

Вектор \( \vec{BB_1} \) и \( \vec{C_1B} \) противоположно направлены, угол между ними 180 градусов.

\( \vec{BB_1} \cdot \vec{C_1B} = |\vec{BB_1}| \cdot |\vec{C_1B}| \cdot \cos(180^{\circ}) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4 \)