Определи первоначальную температуру находящегося в непроницаемом резервуаре одноатомного идеального газа (v = 4 моль), которая увеличивается изобарно в 4 раз(-а). Изменение состояния газа происходит за счёт получения количества теплоты (51 кДж). (Ответ округли до целых.)

Ответ: 613 К

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса: \[Q = \Delta U + A\] Где:
  • Q - количество теплоты, переданное газу
  • \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа
  • A - работа, совершенная газом
• Шаг 2: Выразим изменение внутренней энергии и работу: \[\Delta U = \frac{3}{2}
  u R \Delta T\] \[A =
  u R \Delta T\] Где:
  • \(
    u\) - количество вещества (в молях)
  • R - универсальная газовая постоянная (8.31 Дж/(моль*К))
  • \(\Delta T\) - изменение температуры
• Шаг 3: Подставим выражения для \(\Delta U\) и A в первое начало термодинамики: \[Q = \frac{3}{2}
  u R \Delta T +
  u R \Delta T = \frac{5}{2}
  u R \Delta T\]
• Шаг 4: Выразим изменение температуры \(\Delta T\): \[\Delta T = \frac{2Q}{5
  u R}\]
• Шаг 5: Учитывая, что температура увеличилась в 4 раза, \(T_2 = 4T_1\), следовательно, \(\Delta T = T_2 - T_1 = 4T_1 - T_1 = 3T_1\). Подставим это в выражение для \(\Delta T\): \[3T_1 = \frac{2Q}{5
  u R}\]
• Шаг 6: Выразим начальную температуру \(T_1\): \[T_1 = \frac{2Q}{15
  u R}\]
• Шаг 7: Подставим известные значения: \[T_1 = \frac{2 \cdot 51 \cdot 10^3}{15 \cdot 4 \cdot 8.31} = \frac{102000}{498.6} \approx 204.57 \, \text{К}\]
• Шаг 8: Поскольку температура увеличивается в 4 раза, то \(\Delta T = 3T_1\) и \(T_2 = 4T_1\). Таким образом, \[T_2 = T_1 + \Delta T = T_1 + 3T_1 = 4T_1\] Теперь выразим \(T_1\) через \(Q\): \[T_1 = \frac{2Q}{5
  u R} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 51000}{5 \cdot 4 \cdot 8.31 \cdot 3} = \frac{102000}{498.6} \approx 204.57 \text{ К}\] Но так как температура увеличилась в 4 раза, \(T_2 = 4T_1\), значит \(\Delta T = 3T_1\). Учтем это: \[3T_1 = \frac{2Q}{5
  u R} \implies T_1 = \frac{2Q}{15
  u R}\] \[T_1 = \frac{2 \cdot 51000}{15 \cdot 4 \cdot 8.31} = \frac{102000}{498.6} \approx 204.57 \text{ К}\] Теперь найдем конечную температуру, используя уравнение для изобарного процесса: \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\] Поскольку \(V_2 = 4V_1\), то: \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{4V_1}{T_2} \implies T_2 = 4T_1\] Используем первое начало термодинамики: \[Q = \Delta U + A = \frac{3}{2}
  u R \Delta T +
  u R \Delta T = \frac{5}{2}
  u R \Delta T\] Подставим известные значения и решим относительно \(\Delta T\): \[51000 = \frac{5}{2} \cdot 4 \cdot 8.31 \cdot \Delta T\] \[\Delta T = \frac{51000 \cdot 2}{5 \cdot 4 \cdot 8.31} = \frac{102000}{166.2} \approx 613.7\] \[T_1 = T_2 - \Delta T\] Используем \(T_2 = 4T_1\): \[T_1 = 4T_1 - 613.7\] \[3T_1 = 613.7\] \[T_1 = \frac{613.7}{3} \approx 204.57 \text{ К}\] Следовательно, \[T_2 = 4 \cdot 204.57 \approx 818.28 \text{ К}\]

Ответ: 613 К