Ombem: 2x = 4 + alla. REZ 2 JC = 3+ 2K; KE Z 4 2 26 52 cos²x + Jacosx-1-Cose 7 Ja cos'a + Ja cosa - 1 - cosar = 0 2 √2 cos²21 + (√2-1) cosx-1=0 cosx = t 2 J2t² + (J2-1)t-120 2- (J2-1)²-4 (JK) (-1) = (√2 + 1)² -1270 31 61.22 (√2-1)+(1+32) - 2; -1 252

Краткое пояснение:

Решение:

1. Исходное уравнение:\[\sqrt{2} \cos^2{x} + \sqrt{2} \cos{x} - 1 - \cos{x} = 0\]
2. Преобразуем уравнение:\[\sqrt{2} \cos^2{x} + (\sqrt{2} - 1) \cos{x} - 1 = 0\]
3. Замена переменной:Пусть \( t = \cos{x} \), тогда уравнение принимает вид:\[\sqrt{2} t^2 + (\sqrt{2} - 1) t - 1 = 0\]
4. Решение квадратного уравнения:Дискриминант:\[D = (\sqrt{2} - 1)^2 - 4(\sqrt{2})(-1) = 2 - 2\sqrt{2} + 1 + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2\]Корни:\[t_{1,2} = \frac{-(\sqrt{2} - 1) \pm (\sqrt{2} + 1)}{2\sqrt{2}}\]
5. Находим корни:\[t_1 = \frac{-\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[t_2 = \frac{-\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -1\]
6. Возвращаемся к исходной переменной:\[\cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad \cos{x} = -1\]
7. Решаем тригонометрические уравнения:\[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]\[x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ:\[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]