Олимпиада 9. 1. Заполни свободные клетки «шестиугольника» целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была одна и та же.

Решение:

Это задача на составление магического шестиугольника. Чтобы сумма чисел во всех рядах была одинаковой, нужно найти эту сумму. Нам известно, что числа должны быть от 1 до 19. В данном шестиугольнике 19 клеток. Сумма всех чисел от 1 до 19 равна \( S = \frac{n(n+1)}{2} \), где \( n = 19 \).

\( S = \frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 × 20}{2} = 190 \).

В шестиугольнике 6 рядов, идущих из центра к краю, и 3 ряда, проходящие через центр. Всего 9 рядов, сумма в которых должна быть одинаковой. Клеток в шестиугольнике 19. Центральная клетка входит в 6 рядов. Клетки вокруг центральной — в 3 ряда. Крайние клетки — в 2 ряда.

В данном случае, когда центральная клетка заполнена числом 1, и мы имеем часть заполненного шестиугольника, сумма каждого ряда будет 38. Это можно определить, зная, что для магического шестиугольника с \( n^2 \) клетками (здесь \( n=3 \) по количеству клеток в ряду из центра) сумма равна \( S_{ряд} = \frac{S_{всего}}{n} \) , но это не совсем подходит для шестиугольника.

Для магического шестиугольника с 19 ячейками, где числа идут от 1 до 19, сумма каждого ряда (из 3, 4 или 5 чисел) равна 38.

Заполненный шестиугольник:

Ответ: Заполненный шестиугольник приведен выше. Сумма чисел в каждом ряду равна 38.