Олег сел в поезд. Проехав половину пути, он лег спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать 1/2 пути, который он проспал. Какую часть всего пути Олег проехал бодрствующим?

Олег проехал бодрствующим половину пути, затем спал. После сна ему осталось проехать половину того, что он проспал, то есть:

$$\frac{1}{2} cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$.

Значит, проспал он:

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$.

Олег проехал бодрствующим:

$$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

Ответ: $$\frac{1}{2}$$ всего пути Олег проехал бодрствующим.