Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и Д на второй. При этом АС и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Решение:

Обозначим радиусы окружностей как \( r_1 = 45 \) и \( r_2 = 55 \). Центры окружностей обозначим \( O_1 \) и \( O_2 \) соответственно.

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, так как они касаются внешним образом: \( d = O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100 \).

AC и BD — общие касательные. Прямые AB и CD параллельны этим касательным. Расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию между прямыми, проходящими через центры окружностей и касательными.

Рассмотрим прямоугольную трапецию \( O_1ACO_2 \) (или \( O_1BDO_2 \)). Опустим перпендикуляр из \( O_1 \) на \( O_2C \). Обозначим точку пересечения \( K \). Тогда \( O_1K = AC \), а \( O_2K = O_2C - KC = r_2 - r_1 = 55 - 45 = 10 \).

В прямоугольном треугольнике \( O_1KO_2 \) по теореме Пифагора:

\[ O_1K^2 + O_2K^2 = O_1O_2^2 \]

\[ AC^2 + (r_2 - r_1)^2 = (r_1 + r_2)^2 \]

\[ AC^2 + (55 - 45)^2 = (45 + 55)^2 \]

\[ AC^2 + 10^2 = 100^2 \]

\[ AC^2 + 100 = 10000 \]

\[ AC^2 = 10000 - 100 = 9900 \]

\[ AC = \sqrt{9900} = \sqrt{900 \cdot 11} = 30\sqrt{11} \].

Расстояние между прямыми AB и CD равно длине отрезка, соединяющего точки касания на одной из окружностей, например, расстояние между точками A и C, если бы они лежали на одной прямой, перпендикулярной центрам. Но поскольку AB и CD являются общими касательными, то расстояние между ними равно высоте трапеции \( O_1ACO_2 \).

Расстояние между прямыми AB и CD равно длине общей внешней касательной, то есть AC (или BD).

В данном случае, поскольку AC и BD — общие касательные, то прямые AB и CD, проходящие через точки касания на каждой из окружностей, параллельны AC и BD. Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно длине общей внешней касательной AC.

Ответ: \( 30\sqrt{11} \).