Окружность, вписанная в трапецию, касается одной её боковой стороны в её середине. Докажите, что эта трапеция прямоугольная.

Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, причём AB ∥ CD. Пусть вписанная окружность касается боковой стороны AD в точке E, а её центр — точка O.

1. Так как окружность касается обоих параллельных оснований, расстояния от её центра до прямых AB и CD равны. Поэтому центр окружности находится на средней линии трапеции, то есть на прямой, проходящей через середины боковых сторон.

2. Точка E — середина боковой стороны AD. Следовательно, она также лежит на средней линии трапеции.

3. Значит, прямая OE параллельна основаниям AB и CD.

4. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому OE ⟂ AD.

5. Так как OE ∥ AB, то AD ⟂ AB. Следовательно, угол A трапеции прямой.

Трапеция, имеющая прямой угол, является прямоугольной.

Ответ: трапеция прямоугольная.