окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник, сать 710 Докажите, что если около трапеции можно описать окруж ность, то эта трапеция равнобедренная. 711 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоуголь- ный и равносторонний. Для каждого из них постройте опи- санную окружность. Вопросы для повторения к главе VIII 1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте получен ные выводы. 2 Какая прямая называется секущей по отношению к окруж ности? 3 Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? 4 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. 5 Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведён- ные из одной точки, равны и составляют равные углы с пря- мой, проходящей через эту точку и центр окружности. 6 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свой- стве касательной. 7 Объясните, как через данную точку окружности провести ка- сательную к этой окружности. 8 Какой угол называется центральным углом окружности? 9 Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокруж ности. 10 Как определяется градусная мера дуги? Как она обознача- ется? 11 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и дока- жите теорему о вписанном угле. 12 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 13 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокруж- ность, прямой. 14 Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекаю-

Вопросы для повторения к главе VIII

1. Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.

   • Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность пересекаются в двух точках.
   • Если расстояние равно радиусу, то прямая касается окружности в одной точке.
   • Если расстояние больше радиуса, то прямая и окружность не пересекаются.

2. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности?

   Прямая, которая пересекает окружность в двух точках, называется секущей.

3. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?

   Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной. Эта общая точка называется точкой касания.

4. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

   Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

5. Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

   Пусть из точки A проведены две касательные к окружности с центром O в точки B и C. Тогда AB = AC и ∠BAO = ∠CAO.

6. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

   Теорема: Если прямая проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к окружности.

7. Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

   Нужно провести радиус из центра окружности в данную точку, а затем через эту точку провести прямую, перпендикулярную радиусу.

8. Какой угол называется центральным углом окружности?

   Центральным углом называется угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность.

9. Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности.

   • Полуокружность – это дуга, стягиваемая диаметром окружности.
   • Дуга, меньшая полуокружности, называется меньшей дугой.
   • Дуга, большая полуокружности, называется большей дугой.

10. Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?

    Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Обозначается символом ∪ над названием дуги, например, ∪AB.

11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

    Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

    Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны половине центрального угла, опирающегося на эту дугу. Следовательно, они равны между собой.

13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, – прямой.

    Центральный угол, опирающийся на полуокружность, равен 180°. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, то есть 90°, а значит, является прямым.

14. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

    Теорема: Если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, то AE ⋅ EB = CE ⋅ ED.