Окружность с центром О вписана в треугольник АВС. Радиус окружности равен половине расстояния ОА. Найдите величину угла А.

Решение. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поэтому луч АО (проведите его) делит угол BAC пополам. Обозначим точку касания окружности со стороной АВ буквой Т и проведём радиус ОТ (проведите). По свойству касательной OT ⊥ AB. В прямоугольном треугольнике АОТ катет ОТ равен половине гипотенузы АО (по условию). Следовательно, ∠OAT = 30°. Тогда ∠A = 2*∠BAO = 60°.

Ответ: 60°