Окружность с центром О описана около треугольника АВС, М, Р и К — середины сторон. Укажите верные утверждения.

1. Утверждение 4: AO = OB = OC. Верно, так как радиус описанной окружности равен расстоянию от центра до любой вершины треугольника.
2. Утверждение 2: OM = OK = OP. Верно, так как в равнобедренном треугольнике (если АВС равнобедренный, что не указано, но возможно) медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Однако, более общее утверждение, что О — центр описанной окружности, а М, Р, К — середины сторон, означает, что О является точкой пересечения серединных перпендикуляров. Следовательно, расстояния от О до сторон (перпендикуляры) могут быть разными, если треугольник не равносторонний. Но если М, Р, К — середины сторон, то О — центр описанной окружности. Расстояния от центра описанной окружности до сторон равны только в случае равностороннего треугольника. В общем случае это неверно. Пересмотрим. M, P, K - середины сторон. O - центр описанной окружности. Если О - центр описанной окружности, то AO=BO=CO=R. Если M, P, K - середины сторон, то OM, OK, OP - это расстояния от центра описанной окружности до сторон. Эти расстояния равны только если треугольник равносторонний. Таким образом, утверждение 2 некорректно в общем случае. Утверждение 1: OP ⊥ BC - не обязательно, OP - это отрезок от центра до середины стороны. Если он перпендикулярен, то треугольник равнобедренный. Утверждение 3: ∠CBO = ∠ABO - О - центр описанной окружности, а не вписанной. Это не обязательно биссектриса. Самое верное утверждение, исходя из определения описанной окружности, это что расстояния от центра до вершин равны.

Ответ: 4