Окружность с центром, лежащим на большем основании трапеции, касается остальных трёх её сторон. Найдите отношение площади пятиугольника, отсекаемого от трапеции радиусами, проведёнными в точки касания окружности и боковых сторон трапеции, к площади трапеции, если длины её оснований равны 7 и 13.

Обозначим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, AB = 13, CD = 7. Пусть O - центр окружности, лежащий на основании AB, и окружность касается сторон AD и BC в точках E и F соответственно. Также пусть окружность касается основания CD в точке K.

1. Так как окружность вписана в угол, то центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, AO и BO - биссектрисы углов A и B трапеции, а значит, углы OAD и OBC равны 90 градусам (сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180 градусам, а полусумма - 90 градусам). Тогда треугольник AOB прямоугольный.

2. Проведем высоту DH к основанию AB. Тогда AH = (AB - CD) / 2 = (13 - 7) / 2 = 3. Значит, высота трапеции h равна 2√(AO⋅OB) = 2√(AH⋅HB) = 2√(3⋅10) = 2√30.

3. Площадь трапеции ABCD равна S = ((AB + CD) / 2) × h = ((13 + 7) / 2) × 2√30 = 20√30.

4. Площадь пятиугольника, отсекаемого радиусами, проведенными в точки касания, состоит из площади трапеции минус площади двух треугольников: ADK и BCK. Опустим высоту из точек E и F на основание AB. Обозначим точки H1 и H2 соответственно.

5. Заметим, что площадь треугольника EOA и FBO не входит в площадь пятиугольника и нужно найти отношение площадей.

6. Площадь пятиугольника AEFOB равна площади трапеции ABCD минус площади двух треугольников AOD и BOC. Точки E и F - точки касания со сторонами AD и BC, AE = AH1 и BF = BH2.

7. Так как OE и OF - радиусы, проведенные в точки касания, то они перпендикулярны сторонам AD и BC. Таким образом, площадь треугольника EOA равна 1/2 * AE * OE и площадь треугольника FBO равна 1/2 * BF * OF, но OE = OF = r (радиус окружности).

8. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты. Следовательно, r = h/2 = √30.

9. Пусть AE + BF = x. Площадь треугольников AOD и BOC равна (1/2)⋅(AE + BF)⋅r = (1/2)⋅x⋅√30.

10. Необходимо вычислить площадь трапеции и площадь пятиугольника, образованного точками касания и радиусами.

11. Так как трапеция описана около окружности, суммы ее противоположных сторон равны. То есть: AD + BC = AB + CD = 13 + 7 = 20

12. Высота трапеции $$h = 2r = 2sqrt{30}$$. Площадь трапеции $$S_{ABCD} = rac{AB + CD}{2} cdot h = rac{13 + 7}{2} cdot 2sqrt{30} = 20sqrt{30}$$.

13. Пусть радиусы, проведенные в точки касания AE и BF, отсекают треугольники. Площадь пятиугольника можно найти, если из площади трапеции вычесть площади этих двух треугольников.

14. Площадь пятиугольника равна: $$S_{пятиуг} = S_{трап} - S_{треуг}$$.

15. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и отрезком на основании, где меньшее основание равно 7, большее 13, разность 6. Отрезки по краям равны 3 и 10.

16. Площади треугольников, отсекаемых радиусами: $$S_{треуг} = rac{1}{2} cdot 3 cdot sqrt{30} + rac{1}{2} cdot 10 cdot sqrt{30} = rac{13sqrt{30}}{2}$$

17. Площадь пятиугольника, образованного радиусами и боковыми сторонами трапеции: $$S_{пятиуг} = 20sqrt{30} - rac{13sqrt{30}}{2} = rac{40sqrt{30} - 13sqrt{30}}{2} = rac{27sqrt{30}}{2}$$

18. Отношение площади пятиугольника к площади трапеции: $$rac{S_{пятиуг}}{S_{трап}} = rac{rac{27sqrt{30}}{2}}{20sqrt{30}} = rac{27sqrt{30}}{2 cdot 20sqrt{30}} = rac{27}{40}$$

Ответ: $$rac{27}{40}$$