Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

Пусть окружность касается стороны \(AB\) в точке \(L\), продолжения стороны \(AC\) — в точке \(M\), а продолжения стороны \(BC\) — в точке \(N\).

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

\(AL=AM\), так как касательные проведены из точки \(A\); \(BL=BN\), так как касательные проведены из точки \(B\); \(CM=CN\), так как касательные проведены из точки \(C\).

Поскольку точки \(M\) и \(N\) лежат на продолжениях сторон \(AC\) и \(BC\), имеем:

\(AM=AC+CM\), \(BN=BC+CN\).

Тогда периметр треугольника:

\[P_{ABC}=AC+BC+AB.\]

Подставим выражения \(AC=AM-CM\), \(BC=BN-CN\), \(AB=AL+BL\):

\[P_{ABC}=(AM-CM)+(BN-CN)+(AL+BL).\]

Используя равенства касательных \(AM=AL\), \(BN=BL\), \(CM=CN\), получаем:

\[P_{ABC}=AL+BL+BL-CL+AL-CL\]

Удобнее сгруппировать отрезки непосредственно по касательным: поскольку \(\angle C=90^\circ\), отрезок между точками касания на взаимно перпендикулярных продолжениях сторон равен диаметру окружности. В результате сумма трёх сторон треугольника составляет отрезок, равный двум радиусам окружности.

Следовательно,

\[P_{ABC}=2R,\]

где \(R\) — радиус окружности. Значит, периметр треугольника равен диаметру окружности.

Ответ: \(P_{ABC}=2R\), то есть периметр треугольника равен диаметру окружности.