Окружность касается сторон AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC вне точки A и B соответственно. Докажите, что окружность является вписанной в треугольник ABC.

Пусть окружность касается стороны или её продолжения на каждой из прямых, содержащих стороны треугольника. Обозначим точки касания с прямыми AB, AC и BC соответственно через L, M и N.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем: \(AL=AM\), \(BL=BN\), \(CM=CN\).

Так как точка касания с прямой \(AC\) находится на продолжении стороны за точкой \(A\), а точка касания с прямой \(BC\) — на продолжении стороны за точкой \(B\), то точки \(M\) и \(N\) расположены вне отрезков \(AC\) и \(BC\). Следовательно, окружность касается не сторон треугольника, а их продолжений, поэтому она не является вписанной в треугольник \(ABC\).

Ответ: утверждение в указанной формулировке неверно; такая окружность является вневписанной, а не вписанной.