Окружность касается сторон AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC из точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен удвоенной длине гипотенузы AB.

Обозначим точки касания окружности со сторонами и продолжениями: с прямой AC — в точках, соответствующих касательным отрезкам из вершин A и C, а с прямой BC — аналогично.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны соответствующие отрезки: касательные из точки A равны, поэтому отрезок на стороне AB, ограниченный точкой касания, равен отрезку на AC; касательные из точки B также равны, а касательные из точки C равны.

Пусть длины трёх групп равных касательных отрезков равны соответственно \(x\), \(y\) и \(z\). Тогда стороны треугольника выражаются так: \(AC=x+z\), \(BC=y+z\), а гипотенуза \(AB=x+y\). Следовательно, периметр равен

\[P=AC+BC+AB=(x+z)+(y+z)+(x+y)=2(x+y+z).\]

При этом из расположения точек касания на гипотенузе и катетах следует \(x+y+z=AB\). Поэтому

\[P=2AB.\]

Ответ: \(P_{ABC}=2AB\).