Около четырёхугольника ABCD, для которого задано отношение углов А: В: С: D, описали окружность. Выбери отношение углов, при котором это возможно.

Решение:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов (\( \pi \) радиан). Пусть отношение углов равно \( k \). Тогда углы будут \( kx, kx, kx, kx \) в некотором порядке. Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов (\( 2\pi \)).

Для того чтобы четырёхугольник был вписан в окружность, должны выполняться условия:

• \( A + C = 180^{\circ} \)
• \( B + D = 180^{\circ} \)

Проверим предложенные варианты:

1. Отношение углов в произвольном порядке 3:5:7:9
• Сумма частей: \( 3+5+7+9=24 \).
• Общая сумма углов: \( 360^{\circ} \).
• Один угол: \( \frac{360^{\circ}}{24} \cdot 3 = 45^{\circ} \).
• Углы: \( 45^{\circ}, 75^{\circ}, 105^{\circ}, 135^{\circ} \).
• Проверяем суммы противоположных углов: \( 45^{\circ} + 105^{\circ} = 150^{\circ} \neq 180^{\circ} \) и \( 75^{\circ} + 135^{\circ} = 210^{\circ} \neq 180^{\circ} \).
• Этот вариант не подходит.
2. Отношение углов в произвольном порядке 3:4:6:8
• Сумма частей: \( 3+4+6+8=21 \).
• Общая сумма углов: \( 360^{\circ} \).
• Один угол: \( \frac{360^{\circ}}{21} = \frac{120^{\circ}}{7} \).
• Углы: \( \frac{360^{\circ}}{21} \cdot 3 = \frac{360^{\circ}}{7} \), \( \frac{360^{\circ}}{21} \cdot 4 = \frac{480^{\circ}}{7} \), \( \frac{360^{\circ}}{21} \cdot 6 = \frac{720^{\circ}}{7} \), \( \frac{360^{\circ}}{21} \cdot 8 = \frac{960^{\circ}}{7} \).
• Проверяем суммы противоположных углов: \( \frac{360^{\circ}}{7} + \frac{720^{\circ}}{7} = \frac{1080^{\circ}}{7} \neq 180^{\circ} \) и \( \frac{480^{\circ}}{7} + \frac{960^{\circ}}{7} = \frac{1440^{\circ}}{7} \neq 180^{\circ} \).
• Этот вариант не подходит.
3. Отношение углов строго в заданном порядке 1:2:3:4
• Сумма частей: \( 1+2+3+4=10 \).
• Общая сумма углов: \( 360^{\circ} \).
• Один угол: \( \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ} \).
• Углы: \( 36^{\circ}, 72^{\circ}, 108^{\circ}, 144^{\circ} \).
• Проверяем суммы противоположных углов: \( 36^{\circ} + 108^{\circ} = 144^{\circ} \neq 180^{\circ} \) и \( 72^{\circ} + 144^{\circ} = 216^{\circ} \neq 180^{\circ} \).
• Этот вариант не подходит.
4. Отношение углов строго в заданном порядке 2:5:4:1
• Сумма частей: \( 2+5+4+1=12 \).
• Общая сумма углов: \( 360^{\circ} \).
• Один угол: \( \frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ} \).
• Углы: \( 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \), \( 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ} \), \( 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ} \), \( 1 \cdot 30^{\circ} = 30^{\circ} \).
• Проверяем суммы противоположных углов: \( 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ} \) и \( 150^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \).
• Этот вариант подходит.

Ответ: Отношение углов строго в заданном порядке 2:5:4:1.