Около четырёхугольника ABCD, для которого задано отношение углов А: В: C: D, описали окружность. Выбери отношение углов, при котором это возможно. Выбери все верные варианты.

Решение:

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (или \( \pi \) радиан). Для четырёхугольника ABCD это означает, что \( \angle A + \angle C = 180° \) и \( \angle B + \angle D = 180° \).

Проверим предложенные варианты отношений углов:

• Отношение углов в произвольном порядке 3:5:7:9

Сумма частей: \( 3 + 5 + 7 + 9 = 24 \). Общий угол: \( 360° \).

Углы: \( \frac{3}{24} \cdot 360° = 45° \), \( \frac{5}{24} \cdot 360° = 75° \), \( \frac{7}{24} \cdot 360° = 105° \), \( \frac{9}{24} \cdot 360° = 135° \).

Проверим суммы противоположных углов. Возможные пары противоположных углов: (45°, 105°) и (75°, 135°).

\( 45° + 105° = 150° \) (Не 180°)

\( 75° + 135° = 210° \) (Не 180°)

Следовательно, этот вариант не подходит.

• Отношение углов в произвольном порядке 3:4:6:8

Сумма частей: \( 3 + 4 + 6 + 8 = 21 \). Общий угол: \( 360° \).

Углы: \( \frac{3}{21} \cdot 360° \approx 51.4° \), \( \frac{4}{21} \cdot 360° \approx 68.6° \), \( \frac{6}{21} \cdot 360° \approx 102.8° \), \( \frac{8}{21} \cdot 360° \approx 137.1° \).

Суммы противоположных углов:

\( 51.4° + 102.8° \approx 154.2° \) (Не 180°)

\( 68.6° + 137.1° \approx 205.7° \) (Не 180°)

Следовательно, этот вариант не подходит.

• Отношение углов строго в заданном порядке 1:2:3:4

Сумма частей: \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \). Общий угол: \( 360° \).

Углы: \( \frac{1}{10} \cdot 360° = 36° \), \( \frac{2}{10} \cdot 360° = 72° \), \( \frac{3}{10} \cdot 360° = 108° \), \( \frac{4}{10} \cdot 360° = 144° \).

Проверим суммы противоположных углов в заданном порядке A:B:C:D.

\( \angle A + \angle C = 36° + 108° = 144° \) (Не 180°)

\( \angle B + \angle D = 72° + 144° = 216° \) (Не 180°)

Следовательно, этот вариант не подходит.

• Отношение углов строго в заданном порядке 2:5:4:1

Сумма частей: \( 2 + 5 + 4 + 1 = 12 \). Общий угол: \( 360° \).

Углы: \( \frac{2}{12} \cdot 360° = 60° \), \( \frac{5}{12} \cdot 360° = 150° \), \( \frac{4}{12} \cdot 360° = 120° \), \( \frac{1}{12} \cdot 360° = 30° \).

Проверим суммы противоположных углов в заданном порядке A:B:C:D.

\( \angle A + \angle C = 60° + 120° = 180° \)

\( \angle B + \angle D = 150° + 30° = 180° \)

Оба условия выполнены. Следовательно, этот вариант подходит.

Ответ: Отношение углов строго в заданном порядке 2:5:4:1.