ОГЭ 2026 Задание №2... 1) (x-7)²<√11(x-7); 2) -17/x²+2x-3≤0; 3) -21/(x+6)²-10≥0. 20. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства Блок 2. ФИПИ. Расширенная версия Примеры прототипов Пример 1. Упростите выражение: 12n+4/22п+5.3n+2 Пример 2. 1) (4x-9)2(x-3)=(4x-9)(x-3)2; 2) (x-1)(x+7)(x-8)=(x-1)(x-8)(x+11). Е. А. Ширяева Пример 3. Решите уравнение: 1) (x+3)³=9(x+3); 2) 4x²-7x+13=(x+3)2; 3) x=(11x-18)³; Пример 4. Сократите дробь: р(а)/p(1/а), если р(x)=(x+6/x)(6x+1/x). Пример 5. Сократите дробь: р(а)/p(18-а), если р(х) = х(18-х)/x-9 Пример 6. Решите систему уравнений: (3x+7y)²=10y, x²+y=7, 1) (3x+7y)²=10x; 3) 2x²-y=20; 5) x2=7y-3, x²+19=7y+y². y-2x=2, x-3y=7, 2) x²+2xy-y²=8; 4) x/5+y/4=-1 Пример 7. Решите неравенство: 1) (4x+1)(x-2)>-5; 2) (x-6)2≥(6x-1)²; Пример 8. Решите систему неравенств: 2(3x+5)-7(2x+3)>3x, 1) (x-4)(x+7)<0; 3) x²(-x2-16)≤100(-x²-16); 4) x²/4<4x-5/3. 8-x/4+(1-5x)²≥0, 2) 3-7x≤23-2x. 20. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства Блок 3. ФИПИ. Типовые экзаменационные варианты Примеры прототипов Пример 1. Решите уравнение х6= -(3-4x)3.

Ответ: Решения задач представлены ниже.

ОГЭ 2026 Задание №2

1. (x-7)² < √11(x-7)

   Пусть y = x-7, тогда y² < √11y

   y² - √11y < 0

   y(y - √11) < 0

   0 < y < √11

   0 < x-7 < √11

   7 < x < 7 + √11

2. -17/(x²+2x-3) ≤ 0

   x²+2x-3 < 0 (так как -17 < 0)

   (x+3)(x-1) < 0

   -3 < x < 1

3. -21/((x+6)²-10) ≥ 0

   (x+6)² - 10 < 0 (так как -21 < 0)

   (x+6)² < 10

   -√10 < x+6 < √10

   -6-√10 < x < -6+√10

20. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства. Блок 2

1. Упростите выражение: \[\frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}}\]

   \[\frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} = \frac{(2^2 \cdot 3)^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} = \frac{2^{2n+8} \cdot 3^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} = 2^{2n+8-(2n+5)} \cdot 3^{n+4-(n+2)} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\]

Пример 2

1. (4x-9)²(x-3) = (4x-9)(x-3)²

   (4x-9)²(x-3) - (4x-9)(x-3)² = 0

   (4x-9)(x-3)[(4x-9) - (x-3)] = 0

   (4x-9)(x-3)(4x-9-x+3) = 0

   (4x-9)(x-3)(3x-6) = 0

   4x-9 = 0 или x-3 = 0 или 3x-6 = 0

   x = 9/4 или x = 3 или x = 2

2. (x-1)(x+7)(x-8) = (x-1)(x-8)(x+11)

   (x-1)(x-8)(x+7) - (x-1)(x-8)(x+11) = 0

   (x-1)(x-8)[(x+7) - (x+11)] = 0

   (x-1)(x-8)(x+7-x-11) = 0

   (x-1)(x-8)(-4) = 0

   x-1 = 0 или x-8 = 0

   x = 1 или x = 8

Пример 3. Решите уравнение:

1. (x+3)³ = 9(x+3)

   (x+3)³ - 9(x+3) = 0

   (x+3)((x+3)² - 9) = 0

   (x+3)(x²+6x+9-9) = 0

   (x+3)(x²+6x) = 0

   (x+3)x(x+6) = 0

   x = 0 или x+3 = 0 или x+6 = 0

   x = 0 или x = -3 или x = -6

2. 4x² - 7x + 13 = (x+3)²

   4x² - 7x + 13 = x² + 6x + 9

   3x² - 13x + 4 = 0

   D = (-13)² - 4*3*4 = 169 - 48 = 121

   x = (13 ± √121) / 6 = (13 ± 11) / 6

   x = (13 + 11) / 6 = 24 / 6 = 4

   x = (13 - 11) / 6 = 2 / 6 = 1/3

3. x⁶ = (11x-18)³

   (x²)³ = (11x-18)³

   x² = 11x - 18

   x² - 11x + 18 = 0

   D = (-11)² - 4*1*18 = 121 - 72 = 49

   x = (11 ± √49) / 2 = (11 ± 7) / 2

   x = (11 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9

   x = (11 - 7) / 2 = 4 / 2 = 2

4. x³ = 4x² + 21x

   x³ - 4x² - 21x = 0

   x(x² - 4x - 21) = 0

   x(x-7)(x+3) = 0

   x = 0 или x = 7 или x = -3

5. (x-5)²(x-2) = 4(x-5)

   (x-5)²(x-2) - 4(x-5) = 0

   (x-5)((x-5)(x-2) - 4) = 0

   (x-5)(x² - 7x + 10 - 4) = 0

   (x-5)(x² - 7x + 6) = 0

   (x-5)(x-6)(x-1) = 0

   x = 5 или x = 6 или x = 1

Пример 4. Сократите дробь:

\[\frac{p(a)}{p(\frac{1}{a})}\] , если \[p(x) = \(x + \frac{6}{x}\)\(6x + \frac{1}{x}\)\]

\[p(\frac{1}{a}) = (\frac{1}{a} + \frac{6}{\frac{1}{a}})(6 \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{\frac{1}{a}}) = (\frac{1}{a} + 6a)(\frac{6}{a} + a)\]

\[\frac{p(a)}{p(\frac{1}{a})} = \frac{(a + \frac{6}{a})(6a + \frac{1}{a})}{(\frac{1}{a} + 6a)(\frac{6}{a} + a)} = \frac{(a + \frac{6}{a})(6a + \frac{1}{a})}{(6a + \frac{1}{a})(a + \frac{6}{a})} = 1\]

Пример 5. Сократите дробь:

\[\frac{p(a)}{p(18-a)}\] , если \[p(x) = \frac{x(18-x)}{x-9}\]

\[p(18-a) = \frac{(18-a)(18-(18-a))}{18-a-9} = \frac{(18-a)(18-18+a)}{9-a} = \frac{(18-a)(a)}{9-a}\]

\[\frac{p(a)}{p(18-a)} = \frac{\frac{a(18-a)}{a-9}}{\frac{(18-a)(a)}{9-a}} = \frac{a(18-a)(9-a)}{(a-9)(18-a)(a)} = \frac{9-a}{a-9} = -1\]

Пример 6. Решите систему уравнений:

1. \[\begin{cases} (3x+7y)^2 = 10y \\ (3x+7y)^2 = 10x \end{cases}\]

   10y = 10x

   y = x

   (3x+7x)² = 10x

   (10x)² = 10x

   100x² - 10x = 0

   10x(10x - 1) = 0

   x = 0 или x = 1/10

   Ответ: (0,0) и (1/10, 1/10)

2. \[\begin{cases} y - 2x = 2 \\ x^2 + 2xy - y^2 = 8 \end{cases}\]

   y = 2x + 2

   x² + 2x(2x+2) - (2x+2)² = 8

   x² + 4x² + 4x - (4x² + 8x + 4) = 8

   x² + 4x² + 4x - 4x² - 8x - 4 = 8

   x² - 4x - 12 = 0

   D = (-4)² - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64

   x = (4 ± √64) / 2 = (4 ± 8) / 2

   x = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6

   x = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2

   y = 2*6 + 2 = 14

   y = 2*(-2) + 2 = -2

   Ответ: (6, 14) и (-2, -2)

3. \[\begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 20 \end{cases}\]

   Сложим уравнения:

   3x² = 27

   x² = 9

   x = ±3

   Если x = 3, то y = 7 - x² = 7 - 9 = -2

   Если x = -3, то y = 7 - x² = 7 - 9 = -2

   Ответ: (3, -2) и (-3, -2)

4. \[\begin{cases} x - 3y = 7 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{4} = -1 \end{cases}\]

   x = 3y + 7

   \[\frac{3y+7}{5} + \frac{y}{4} = -1\]

   \[\frac{4(3y+7) + 5y}{20} = -1\]

   12y + 28 + 5y = -20

   17y = -48

   y = -48/17

   x = 3(-48/17) + 7 = (-144 + 119) / 17 = -25/17

   Ответ: (-25/17, -48/17)

5. \[\begin{cases} x^2 = 7y - 3 \\ x^2 + 19 = 7y + y^2 \end{cases}\]

   7y - 3 + 19 = 7y + y²

   y² = 16

   y = ±4

   Если y = 4, то x² = 7*4 - 3 = 28 - 3 = 25, x = ±5

   Если y = -4, то x² = 7*(-4) - 3 = -28 - 3 = -31 (не имеет решения)

   Ответ: (5, 4) и (-5, 4)

Пример 7. Решите неравенство:

1. (4x+1)(x-2) > -5

   4x² - 8x + x - 2 > -5

   4x² - 7x + 3 > 0

   D = (-7)² - 4*4*3 = 49 - 48 = 1

   x = (7 ± √1) / 8 = (7 ± 1) / 8

   x = (7 + 1) / 8 = 8 / 8 = 1

   x = (7 - 1) / 8 = 6 / 8 = 3/4

   x < 3/4 или x > 1

2. (x-6)² ≥ (6x-1)²

   x² - 12x + 36 ≥ 36x² - 12x + 1

   35x² - 35 ≤ 0

   x² - 1 ≤ 0

   (x-1)(x+1) ≤ 0

   -1 ≤ x ≤ 1

3. x²(-x²-16) ≤ 100(-x²-16)

   x²(-x²-16) - 100(-x²-16) ≤ 0

   (-x²-16)(x² - 100) ≤ 0

   -(x²+16)(x-10)(x+10) ≤ 0

   (x²+16)(x-10)(x+10) ≥ 0

   x ≤ -10 или x ≥ 10

4. \[\frac{x^2}{4} < \frac{4x-5}{3}\]

   \[\frac{x^2}{4} - \frac{4x-5}{3} < 0\]

   \[\frac{3x^2 - 4(4x-5)}{12} < 0\]

   3x² - 16x + 20 < 0

   D = (-16)² - 4*3*20 = 256 - 240 = 16

   x = (16 ± √16) / 6 = (16 ± 4) / 6

   x = (16 + 4) / 6 = 20 / 6 = 10/3

   x = (16 - 4) / 6 = 12 / 6 = 2

   2 < x < 10/3

Пример 8. Решите систему неравенств:

1. \[\begin{cases} 2(3x+5) - 7(2x+3) > 3x \\ (x-4)(x+7) < 0 \end{cases}\]

   \[\begin{cases} 6x+10 - 14x - 21 > 3x \\ -7 < x < 4 \end{cases}\]

   \[\begin{cases} -8x - 11 > 3x \\ -7 < x < 4 \end{cases}\]

   \[\begin{cases} -11x > 11 \\ -7 < x < 4 \end{cases}\]

   \[\begin{cases} x < -1 \\ -7 < x < 4 \end{cases}\]

   -7 < x < -1

2. \[\begin{cases} \frac{8-x}{4+(1-5x)^2} ≥ 0 \\ 3-7x ≤ 23-2x \end{cases}\]

   \[\begin{cases} 8-x ≥ 0 \\ -5x ≤ 20 \end{cases}\]

   \[\begin{cases} x ≤ 8 \\ x ≥ -4 \end{cases}\]

   -4 ≤ x ≤ 8

20. Алгебраические выражения, уравнения и неравенства. Блок 3

1. Решите уравнение x⁶ = -(3-4x)³

   (x²)³ = -(3-4x)³

   x² = -(3-4x)

   x² = 4x - 3

   x² - 4x + 3 = 0

   (x-3)(x-1) = 0

   x = 3 или x = 1

Ответ: Решения задач представлены ниже.