Контрольные задания > Однородная балка АВ, вес которой 7 Н, свободно опирается в точке В на горизонтальную балку CD. Определить, с какой силой балка CD действует на опорную плоскость в точке D если расстояние СВ = BD, угол а = 60° Весом балки CD пренебречь.
Вопрос:

Однородная балка АВ, вес которой 7 Н, свободно опирается в точке В на горизонтальную балку CD. Определить, с какой силой балка CD действует на опорную плоскость в точке D если расстояние СВ = BD, угол а = 60° Весом балки CD пренебречь.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо применить условия равновесия для балки AB, учитывая силу тяжести балки AB и силу реакции опоры в точке D.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Анализ сил, действующих на балку AB.
    На балку AB действуют:
    • Сила тяжести \( P = 7 \) Н, приложенная в центре тяжести балки (середина AB).
    • Реакция опоры в точке B, \( R_B \), направленная вертикально вверх.
    • Реакция опоры в точке D, \( R_D \), направленная вертикально вверх.
  2. Шаг 2: Применение условия равновесия моментов для балки AB относительно точки B.
    Для того чтобы балка AB находилась в равновесии, сумма моментов сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Выберем точку B как центр вращения.
    Момент силы тяжести \( P \) относительно точки B: \( M_P = P \cdot L_{AB}/2 \cdot \sin(\alpha) \), где \( L_{AB} \) — длина балки AB, \( \alpha = 60^{\circ} \).
    Момент силы реакции опоры \( R_D \) относительно точки B: \( M_{R_D} = R_D \cdot BD \cdot \cos(0^{\circ}) = R_D \cdot BD \), так как \( R_D \) действует перпендикулярно к линии CD, а CD горизонтальна.
  3. Шаг 3: Запись уравнения равновесия моментов.
    Сумма моментов должна быть равна нулю: \( M_P - M_{R_D} = 0 \)
    \( P \cdot L_{AB}/2 \cdot \sin(\alpha) = R_D \cdot BD \)
  4. Шаг 4: Учет геометрических соотношений.
    Дано, что \( CB = BD \). Балка AB опирается на балку CD в точке B. Пусть \( L_{AB} = 2L \). Тогда центр тяжести балки AB находится на расстоянии \( L \) от точки B. В условии сказано, что \( CB = BD \), где C — точка опоры балки CD, а D — точка опоры на плоскость. Поскольку балка AB опирается на балку CD в точке B, а CD — горизонтальная, то \( BD \) — это расстояние от точки опоры балки CD на плоскость (точка D) до точки опоры балки AB (точка B).
    В условии задачи сказано, что расстояние \( CB = BD \). Это означает, что точка B находится посередине между C и D. Однако, для расчета сил, действующих на опору D, нам нужно использовать моменты относительно точки C или D. Давайте рассмотрим моменты относительно точки C.
    Силы, действующие на балку AB:
    • Сила тяжести \( P = 7 \) Н, приложенная в центре AB.
    • Реакция опоры в точке B, \( R_B \), направленная вертикально вверх.
    • Реакция опоры в точке D, \( R_D \), направленная вертикально вверх.
  5. Шаг 5: Пересмотр постановки задачи и рисунка.
    Рисунок показывает, что балка AB опирается на балку CD в точке B. Балка CD опирается на плоскость в точке C (шарнирно-неподвижная опора) и в точке D (шарнирно-подвижная опора, направленная вертикально).
    Рассмотрим равновесие балки AB.
    Пусть \( L_{AB} \) — длина балки AB. Сила тяжести \( P = 7 \) Н приложена в центре балки AB. Угол между AB и горизонталью (балкой CD) равен \( \alpha = 60^{\circ} \).
    Сила, с которой балка AB действует на опору в точке B, будет направлена вдоль оси балки AB, если бы это была жесткая связь. Но здесь балка AB опирается свободно. Значит, сила \( R_B \) — это реакция балки CD на балку AB.
    По третьему закону Ньютона, сила, с которой балка CD действует на балку AB в точке B, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой балка AB действует на балку CD в точке B. Пусть эта сила \( F_{BA} \).
    Балка AB находится в равновесии под действием силы тяжести \( P \) и силы \( F_{BA} \).
    Сумма моментов сил относительно точки A (где балка AB закреплена):
    \( M_P = P \cdot (L_{AB}/2) \cdot \cos(60^{\circ}) \) (момент создаваемый силой тяжести)
    \( M_{F_{BA}} = F_{BA} \cdot L_{AB} \cdot \cos(0^{\circ}) \) (момент создаваемый реакцией в точке B, если бы она была горизонтальна).
    Однако, точка B — это опора, поэтому сила \( F_{BA} \) направлена перпендикулярно к оси балки AB.
    Проще рассмотреть моменты относительно точки B.
    Балка AB покоится, значит, сумма моментов сил относительно точки B равна нулю.
    Сила тяжести \( P = 7 \) Н действует вертикально вниз.
    Расстояние от центра балки AB до точки B равно \( L_{AB}/2 \).
    Проекция силы тяжести на перпендикуляр к линии AB:
    \( P_{\perp} = P \cdot \cos(60^{\circ}) \) (если \( \alpha \) — угол между AB и CD, а CD горизонтальна, то угол между P и перпендикуляром к AB равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \) или \( 60^{\circ} \) в зависимости от того, как откладывается угол. На рисунке угол \( \alpha \) отложен между AB и горизонталью).
    Момент силы тяжести \( P \) относительно точки B: \( M_P = P \cdot (L_{AB}/2) \cdot \sin(60^{\circ}) \).
    Реакция \( R_B \) от балки CD на балку AB. Эта сила направлена перпендикулярно к CD (вертикально вверх).
    Балка AB опирается свободно на балку CD. Это означает, что реакция \( R_B \) направлена перпендикулярно к поверхности опоры, то есть перпендикулярно к балке CD (вертикально вверх).
    Момент силы \( R_B \) относительно точки A:
    \( M_{R_B} = R_B \cdot L_{AB} \cdot \cos(60^{\circ}) \).
    Уравнение равновесия моментов относительно точки A:
    \( P \cdot (L_{AB}/2) \cdot \sin(60^{\circ}) - R_B \cdot L_{AB} \cdot \cos(60^{\circ}) = 0 \)
    \( P \cdot (1/2) \cdot \sin(60^{\circ}) = R_B \cdot \cos(60^{\circ}) \)
    \( R_B = P \cdot (1/2) \cdot \tan(60^{\circ}) = 7 \cdot (1/2) \cdot \sqrt{3} = 3.5 \sqrt{3} \) Н.
    Это сила, с которой балка CD действует на балку AB в точке B. По третьему закону Ньютона, балка AB действует на балку CD с такой же силой, но направленной вниз. Сила \( F_{BD} = R_B = 3.5 \sqrt{3} \) Н, приложена в точке B и направлена вертикально вниз.
    Теперь рассмотрим равновесие балки CD. Балка CD горизонтальна.
    На балку CD действуют:
    • Реакция опоры в точке C, \( R_C \) (шарнирно-неподвижная, может быть горизонтальной и вертикальной).
    • Сила \( F_{BD} = 3.5 \sqrt{3} \) Н, приложенная в точке B, направленная вертикально вниз.
    • Реакция опоры в точке D, \( R_D \), направленная вертикально вверх.
  6. Шаг 6: Применение условий равновесия для балки CD.
    Условие равновесия моментов относительно точки C:
    \( M_{F_{BD}} = F_{BD} \cdot CB \cdot \cos(0^{\circ}) = F_{BD} \cdot CB \) (момент создаваемый силой \( F_{BD} \), вращающий против часовой стрелки).
    \( M_{R_D} = R_D \cdot CD \cdot \cos(0^{\circ}) = R_D \cdot CD \) (момент создаваемый реакцией \( R_D \), вращающий по часовой стрелке).
    По условию \( CB = BD \). Пусть \( CB = BD = L' \). Тогда \( CD = CB + BD = 2L' \).
    Уравнение равновесия моментов относительно C:
    \( F_{BD} \cdot L' - R_D \cdot (2L') = 0 \)
    \( F_{BD} \cdot L' = R_D \cdot 2L' \)
    \( R_D = F_{BD} / 2 \)
    Подставляем значение \( F_{BD} = 3.5 \sqrt{3} \) Н:
    \( R_D = (3.5 \sqrt{3}) / 2 = 1.75 \sqrt{3} \) Н.
    Важно: В условии сказано «с какой силой балка CD действует на опорную плоскость в точке D». Это и есть реакция \( R_D \).
  7. Шаг 7: Проверка другим способом (момент относительно D).
    \( M_{F_{BD}} = F_{BD} \cdot BD \cdot \cos(0^{\circ}) = F_{BD} \cdot L' \) (момент против часовой стрелки).
    \( M_{R_C} = R_C \cdot CD \) (для горизонтальной реакции \( R_{C,x} \)).
    \( M_{R_C,y} = R_{C,y} \cdot 0 \) (вертикальная реакция \( R_{C,y} \) проходит через D, но её момент относительно D равен 0).
    Если рассмотреть момент относительно D, то учтем силу \( F_{BD} \) и реакцию \( R_C \).
    \( R_C \) — это сила в точке C. Пусть \( R_C \) имеет составляющие \( R_{Cx} \) и \( R_{Cy} \).
    Уравнение равновесия сил по вертикали для балки CD:
    \( R_{Cy} + R_D - F_{BD} = 0 \)
    \( R_{Cy} + R_D = F_{BD} \)
    Из уравнения моментов относительно C:
    \( R_D = F_{BD} / 2 \)
    Значит, \( R_{Cy} = F_{BD} - R_D = F_{BD} - F_{BD}/2 = F_{BD}/2 \).
    \( R_D = (3.5 \sqrt{3}) / 2 \approx 3.03 \) Н.
    Перепроверим угол.
    На рисунке угол \( \alpha = 60^{\circ} \) отложен между осью балки AB и горизонталью (балкой CD).
    Сила тяжести \( P \) действует вертикально вниз.
    В точке B, балка AB опирается на балку CD. Реакция \( R_B \) со стороны CD на AB направлена перпендикулярно к CD, то есть вертикально вверх.
    Равновесие балки AB (моменты относительно A):
    \( P \cdot (L_{AB}/2) \cdot \sin(60^{\circ}) - R_B \cdot L_{AB} \cdot \cos(60^{\circ}) = 0 \) (Здесь \( L_{AB} \) — расстояние от A до B).
    \( R_B = P \cdot (1/2) \cdot \tan(60^{\circ}) = 7 \cdot (1/2) \cdot \sqrt{3} = 3.5 \sqrt{3} \) Н.
    Эта сила \( R_B \) — реакция CD на AB. Тогда сила \( F_{BD} \) (сила действия AB на CD) равна \( 3.5 \sqrt{3} \) Н и направлена вертикально вниз, приложена в точке B.
    Теперь рассмотрим равновесие балки CD.
    На балку CD действуют:
    • Реакция \( R_C \) в точке C (шарнир).
    • Сила \( F_{BD} = 3.5 \sqrt{3} \) Н в точке B, вниз.
    • Реакция \( R_D \) в точке D, вверх.

    Условие равновесия моментов относительно C:
    \( F_{BD} \cdot CB - R_D \cdot CD = 0 \)
    \( F_{BD} \cdot CB = R_D \cdot (CB + BD) \)
    По условию \( CB = BD \). Пусть \( CB = BD = x \). Тогда \( CD = 2x \).
    \( F_{BD} \cdot x = R_D \cdot 2x \)
    \( R_D = F_{BD} / 2 \)
    \( R_D = (3.5 \sqrt{3}) / 2 = 1.75 \sqrt{3} \) Н.
    \( 1.75 \sqrt{3} \approx 1.75 \cdot 1.732 \approx 3.031 \) Н.
    Ответ: 1.75 \(\sqrt{3}\) Н

Ответ: 1.75 \(\sqrt{3}\) Н

ГДЗ по фото 📸