1. Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше друго- го. Найдите эти числа, если их произведение равно 330. 2. Площадь прямоугольного треугольника 180 см². Найдите катеты треугольника, если их сумма 39 см.

Ответ: 1) 15 и 22; 2) 15 и 24

1. Решение первого задания:

Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x + 7. Из условия известно, что их произведение равно 330, поэтому составим и решим уравнение:\[x(x + 7) = 330\]Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:\[x^2 + 7x - 330 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 49 + 1320 = 1369\]Найдем корни уравнения:\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 37}{2} = \frac{30}{2} = 15\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 37}{2} = \frac{-44}{2} = -22\]Так как числа натуральные, то x = 15. Тогда второе число равно:x + 7 = 15 + 7 = 22.
Таким образом, числа 15 и 22.

1. Решение второго задания:

Пусть один катет равен a, тогда второй катет равен 39 - a. Из условия известно, что площадь треугольника равна 180 см², поэтому составим и решим уравнение:\[\frac{1}{2}a(39 - a) = 180\]Умножим обе части уравнения на 2:\[a(39 - a) = 360\]Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:\[39a - a^2 = 360\]\[a^2 - 39a + 360 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:\[D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 1521 - 1440 = 81\]Найдем корни уравнения:\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{39 + 9}{2} = \frac{48}{2} = 24\]\[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{39 - 9}{2} = \frac{30}{2} = 15\]Таким образом, катеты равны 15 см и 24 см.

Ответ: 1) 15 и 22; 2) 15 и 24