Один моль разреженного гелия участвует в циклическом процессе 1-2-3-1, график которого изображён на рисунке в координатах V-T, где V – объём газа, T – абсолютная температура газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните работу газа в процессе 2-3 и работу внешних сил в процессе 3-1. Постройте график цикла в координатах p-V, где p – давление газа, V – объём газа.

Решение:

Нам дан циклический процесс, изображённый на диаграмме V-T. Процесс состоит из трёх этапов: 1-2, 2-3 и 3-1.

Анализ процессов:

Процесс 1-2:

• Начальная точка 1: \( T_1 = T_0 \), \( V_1 = V_0 \).
• Конечная точка 2: \( T_2 = 3T_0 \), \( V_2 = V_0 \).
• Температура увеличивается, объём остаётся постоянным. Это изохорный процесс.
• Из уравнения состояния идеального газа \( pV = nRT \) следует, что при \( V = const \) давление \( p \) прямо пропорционально температуре \( T \).
• \( p_1 = \frac{nRT_1}{V_1} = \frac{1 \cdot RT_0}{V_0} \)
• \( p_2 = \frac{nRT_2}{V_2} = \frac{1
  \cdot R
  \cdot 3T_0}{V_0} = 3p_1 \)

Процесс 2-3:

• Начальная точка 2: \( T_2 = 3T_0 \), \( V_2 = V_0 \).
• Конечная точка 3: \( T_3 = 3T_0 \), \( V_3 = 3V_0 \).
• Температура остаётся постоянной, объём увеличивается. Это изотермический процесс.
• Давление уменьшается, так как \( p = \frac{nRT}{V} \) и \( V \) увеличивается.
• \( p_3 = \frac{nRT_3}{V_3} = \frac{1
  \cdot R
  \cdot 3T_0}{3V_0} = \frac{RT_0}{V_0} = p_1 \)

Процесс 3-1:

• Начальная точка 3: \( T_3 = 3T_0 \), \( V_3 = 3V_0 \).
• Конечная точка 1: \( T_1 = T_0 \), \( V_1 = V_0 \).
• Этот процесс является изобарным, так как давление в точках 1 и 3 одинаковое \( p_1 = p_3 = p_1 \). (Линия проходит через начало координат).
• Температура и объём уменьшаются.

Сравнение работ:

Работа газа в процессе 2-3:

• В изотермическом процессе работа газа равна \( A_{2-3} = nRT
  \text{ln} \left( \frac{V_3}{V_2} \right) \).
• \( A_{2-3} = 1
  \cdot R
  \cdot 3T_0
  \text{ln} \left( \frac{3V_0}{V_0} \right) = 3RT_0
  \text{ln}(3) \).

Работа внешних сил в процессе 3-1:

• Это изобарный процесс, где \( p = p_1 = \frac{RT_0}{V_0} \).
• Работа газа \( A_{3-1} = p \Delta V = p(V_1 - V_3) \).
• \( A_{3-1} = \frac{RT_0}{V_0} (V_0 - 3V_0) = \frac{RT_0}{V_0} (-2V_0) = -2RT_0 \).
• Работа внешних сил \( A_{\text{внешн}, 3-1} = -A_{3-1} = -(-2RT_0) = 2RT_0 \).

Сравнение:

• \( A_{2-3} = 3RT_0
  \text{ln}(3) \). Так как \(
  \text{ln}(3) > 1 \), то \( A_{2-3} > 3RT_0 \).
• \( A_{\text{внешн}, 3-1} = 2RT_0 \).
• Следовательно, работа газа в процессе 2-3 больше, чем работа внешних сил в процессе 3-1.

Построение графика p-V:

Из анализа процессов мы имеем:

• Процесс 1-2 (изохорный): \( V = V_0 \), \( p \) изменяется от \( p_1 \) до \( 3p_1 \). На графике p-V это будет вертикальный отрезок.
• Процесс 2-3 (изотермический): \( T = 3T_0 \), \( p \) изменяется от \( 3p_1 \) до \( p_1 \). На графике p-V это будет гипербола \( p = \frac{3p_1 V_0}{V} \).
• Процесс 3-1 (изобарный): \( p = p_1 \), \( V \) изменяется от \( 3V_0 \) до \( V_0 \). На графике p-V это будет горизонтальный отрезок.

В качестве единиц для оси T возьмем \( T_0 \), для оси V возьмем \( V_0 \). Из \( pV = nRT \) следует, что \( p = \frac{nRT}{V} \).

Для точки 1: \( p_1 = \frac{R T_0}{V_0} \) , \( V_1 = V_0 \)

Для точки 2: \( p_2 = \frac{R
\cdot 3T_0}{V_0} = 3 \frac{R T_0}{V_0} = 3p_1 \), \( V_2 = V_0 \)

Для точки 3: \( p_3 = \frac{R
\cdot 3T_0}{3V_0} = \frac{R T_0}{V_0} = p_1 \), \( V_3 = 3V_0 \)

Ответ:

Работа газа в процессе 2-3 больше, чем работа внешних сил в процессе 3-1.

График цикла в координатах p-V представляет собой треугольник с вершинами в точках (V₀, p₀), (V₀, 3p₀) и (3V₀, p₀), где p₀ = RT₀/V₀.