1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 106°. Найдите два других угла треугольника. 2. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. ∠A = 60°, ∠ C = 40°. Докажите, что треугольник ВКС - равнобедренный. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 43 см, а одна из его сторон больше другой на 7 см. Найдите стороны этого треугольника. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 24 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

Задача 1:

• В равнобедренном треугольнике либо угол при вершине, либо углы при основании равны.
• Если угол при вершине равен 106°, то два других угла (при основании) равны: \[(180° - 106°) / 2 = 74° / 2 = 37°.\]
• Если угол при основании равен 106°, то сумма двух углов при основании будет 212°, что невозможно, так как сумма углов в треугольнике 180°.

Ответ: 37°, 37°

Задача 2:

• В треугольнике ABC угол B равен: \[180° - 60° - 40° = 80°.\]
• Так как BK - биссектриса, то угол KBC равен: \[80° / 2 = 40°.\]
• В треугольнике BKC угол BKC равен: \[180° - 40° - 40° = 100°.\]
• Так как углы KBC и BCK равны (по 40°), то треугольник BKC - равнобедренный.

Доказано

Задача 3:

• Пусть x - одна из сторон, тогда другая x + 7. Так как треугольник равнобедренный, возможны два варианта:
  • 2x + x + 7 = 43 => 3x = 36 => x = 12 см. Тогда стороны: 12 см, 12 см, 19 см.
  • x + 7 + 2(x + 7) = 43 => 3x + 21 = 43 => 3x = 22 => x = 22/3, что невозможно, так как сторона должна быть меньше половины периметра, а 22/3 + 7 > 43/2.

Ответ: 19 см, 12 см, 12 см

Задача 4:

• Пусть гипотенуза равна x, тогда меньший катет равен 24 - x.
• Так как один из углов равен 60°, то меньший катет лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы: 24 - x = x / 2 => 48 - 2x = x => 3x = 48 => x = 16 см (гипотенуза).
• Меньший катет равен: 24 - 16 = 8 см.

Ответ: 16 см, 8 см