Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите меньший катет и гипотенузу.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. По условию, один из острых углов равен 30°. Это значит, что другой острый угол равен \( 180° - 90° - 30° = 60° \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы. Обозначим:

• \( a \) — меньший катет (противолежащий углу 30°)
• \( c \) — гипотенуза

Тогда \( a = \frac{1}{2}c \) или \( c = 2a \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:

\[ c + a = 42 \]

Подставим \( c = 2a \) в это уравнение:

\[ 2a + a = 42 \]

\[ 3a = 42 \]

\[ a = \frac{42}{3} \]

\[ a = 14 \]

Значит, меньший катет равен 14 см.

Теперь найдем гипотенузу:

\[ c = 2a = 2 \cdot 14 = 28 \]

Гипотенуза равна 28 см.

Проверим: \( a + c = 14 + 28 = 42 \) см. Условие выполняется.

Ответ: меньший катет — 14 см, гипотенуза — 28 см.