6) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60° а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Ответ: Гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см

Разбираемся:

1. Обозначим стороны треугольника.

Пусть данный прямоугольный треугольник — \(ABC\), где угол \(C\) прямой, угол \(A = 60^\circ\), тогда угол \(B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Обозначим гипотенузу \(AB = c\), меньший катет (лежащий напротив угла 30°) \(BC = a\), и больший катет \(AC = b\).

2. Запишем условие задачи в виде уравнений.

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см, то есть \(a + c = 18\). В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы, то есть \(a = \frac{1}{2}c\).

3. Решим систему уравнений.

Подставим выражение для \(a\) в первое уравнение: \[\frac{1}{2}c + c = 18\]Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:\[c + 2c = 36\]Упростим уравнение:\[3c = 36\]Разделим обе части на 3:\[c = 12\]Теперь найдем \(a\):\[a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

4. Запишем ответ.

Гипотенуза \(c = 12\) см, меньший катет \(a = 6\) см.

Ответ: Гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см