Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

Пусть меньший острый угол прямоугольного треугольника равен \( \alpha \). Тогда больший острый угол равен \( 2\alpha \). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому:

\[ \alpha + 2\alpha = 90° \]

\[ 3\alpha = 90° \]

\[ \alpha = 30° \]

Таким образом, острые углы треугольника равны 30° и 60°.

В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет (противолежащий углу 30°) равен \( a \). Тогда:

\[ a = \frac{1}{2}c \]

По условию задачи, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см:

\[ c - a = 15 \]

Подставим выражение для \( a \) через \( c \):

\[ c - \frac{1}{2}c = 15 \]

\[ \frac{1}{2}c = 15 \]

\[ c = 30 \text{ см} \]

Теперь найдём меньший катет \( a \):

\[ a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} × 30 = 15 \text{ см} \]

Ответ: Гипотенуза равна 30 см, а меньший катет равен 15 см.