Обруч массой m катится без скольжения со скоростью v. Определите полную кинетическую энергию обруча.

Полная кинетическая энергия обруча

Полная кинетическая энергия тела состоит из двух частей: кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс.

Для обруча, который катится без скольжения, кинетическая энергия поступательного движения равна:

\[ E_{пост} = \frac{1}{2} m v^2 \]

А кинетическая энергия вращательного движения равна:

\[ E_{вращ} = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

где \( I \) — момент инерции обруча, а \( \omega \) — угловая скорость. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости, равен \( I = m r^2 \), где \( r \) — радиус обруча.

Условие качения без скольжения связывает линейную скорость \( v \) и угловую скорость \( \omega \) соотношением \( v = \omega r \), откуда \( \omega = \frac{v}{r} \).

Подставим \( I \) и \( \omega \) в формулу для \( E_{вращ} \):

\[ E_{вращ} = \frac{1}{2} (m r^2) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \frac{v^2}{r^2} = \frac{1}{2} m v^2 \]

Полная кинетическая энергия \( E_{полн} \) равна сумме энергий поступательного и вращательного движений:

\[ E_{полн} = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2 \]

Теперь выберем правильный вариант ответа.

Ответ: 5) mv²