1. Объем шара \frac{32}{3} π см³. Найдите радиус шара. 2. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6 см. Найдите объем цилиндра. 3. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов – 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. 4. Сторона основания правильной треугольной призмы 6см, а боковое ребро 10см. Вычислите объем призмы. 5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на п. 6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24\sqrt{3}см и наклонена к плоскости его основания под углом 30 °. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 7. Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания – 6 см. Найдите объем конуса. 8. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 10см и острым углом 30°. Диагональ боковой грани, содержащей катет противолежащий данному углу, равна 13 см. Найдите объем призмы. 9. Площадь боковой поверхности конуса равна 20πсм², а его образующая 5 см. Найдите объем конуса. 10. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетом 3см и прилежащим углом 60°. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, 10см. Найдите объем призмы.

Вариант 3. Часть 1

• Задача 1: Объем шара дан, нужно найти радиус.

Пошаговое решение:

1. Формула объема шара: \[ V = \frac{4}{3}πR^3 \], где V - объем, R - радиус.
2. Дано \[ V = \frac{32}{3}π \]. Подставим в формулу: \[ \frac{32}{3}π = \frac{4}{3}πR^3 \].
3. Сокращаем обе части на \(\frac{4}{3}π\): \[ R^3 = \frac{\frac{32}{3}π}{\frac{4}{3}π} = \frac{32}{4} = 8 \].
4. Извлекаем кубический корень: \[ R = \sqrt[3]{8} = 2 \].

Ответ: Радиус шара равен 2 см.

• Задача 2: Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной 6 см. Найти объем цилиндра.

Пошаговое решение:

1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, значит, высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть h = 6 см.
2. Сторона квадрата также является диаметром основания цилиндра, поэтому радиус основания равен половине стороны квадрата: r = 6/2 = 3 см.
3. Формула объема цилиндра: \[ V = πr^2h \], где V - объем, r - радиус основания, h - высота.
4. Подставляем известные значения: \[ V = π(3^2)(6) = π(9)(6) = 54π \].

Ответ: Объем цилиндра равен 54π см³.

• Задача 3: Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 17 см, а один из катетов – 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Пошаговое решение:

1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза c = 2 * 17 = 34 см.
2. Найдем второй катет b по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \], где a = 16 см, c = 34 см.
3. Подставляем: \[ 16^2 + b^2 = 34^2 \], \[ 256 + b^2 = 1156 \], \[ b^2 = 1156 - 256 = 900 \], \[ b = \sqrt{900} = 30 \] см.
4. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \].
5. Подставляем: \[ r = \frac{16 + 30 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 6 см.

• Задача 4: Сторона основания правильной треугольной призмы 6 см, а боковое ребро 10 см. Вычислите объем призмы.

Пошаговое решение:

1. Основание призмы - правильный треугольник, то есть равносторонний. Площадь основания: \[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \], где a - сторона основания.
2. Подставляем: \[ S = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \] см².
3. Объем призмы: \[ V = Sh \], где S - площадь основания, h - высота (боковое ребро).
4. Подставляем: \[ V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3} \] см³.

Ответ: Объем призмы равен 90√3 см³.

• Задача 5: Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Пошаговое решение:

1. Диаметр равен 6, значит, радиус основания конуса r = 6/2 = 3.
2. Угол при вершине осевого сечения равен 90°, значит, осевое сечение - прямоугольный треугольник с углом 90°.
3. Высота конуса равна радиусу основания, так как осевое сечение - равнобедренный прямоугольный треугольник, следовательно, h = r = 3.
4. Объем конуса: \[ V = \frac{1}{3}πr^2h \].
5. Подставляем: \[ V = \frac{1}{3}π(3^2)(3) = \frac{1}{3}π(9)(3) = 9π \].
6. Объем конуса, деленный на π: \[ \frac{V}{π} = \frac{9π}{π} = 9 \].

Ответ: Объем конуса, деленный на π, равен 9.

• Задача 6: Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24√3 см и наклонена к плоскости его основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пошаговое решение:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра образует прямоугольный треугольник с высотой цилиндра и диаметром основания.
2. Пусть h - высота цилиндра, d - диаметр основания. Тогда \[ \sin(30°) = \frac{h}{24\sqrt{3}} \], откуда \[ h = 24\sqrt{3} \cdot \sin(30°) = 24\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 12\sqrt{3} \].
3. Также \[ \cos(30°) = \frac{d}{24\sqrt{3}} \], откуда \[ d = 24\sqrt{3} \cdot \cos(30°) = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36 \].
4. Радиус основания: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{36}{2} = 18 \].
5. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S = 2πrh \].
6. Подставляем: \[ S = 2π(18)(12\sqrt{3}) = 432\sqrt{3}π \] см².

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна 432√3π см².

• Задача 7: Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания – 6 см. Найдите объем конуса.

Пошаговое решение:

1. Образующая конуса l = 10 см, радиус основания r = 6 см.
2. Высота конуса h: \[ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] см.
3. Объем конуса: \[ V = \frac{1}{3}πr^2h \].
4. Подставляем: \[ V = \frac{1}{3}π(6^2)(8) = \frac{1}{3}π(36)(8) = 96π \] см³.

Ответ: Объем конуса равен 96π см³.

Часть 2

• Задача 8: Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и острым углом 30°. Диагональ боковой грани, содержащей катет противолежащий данному углу, равна 13 см. Найдите объем призмы.

Пошаговое решение:

1. В основании прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 10 см и углом α = 30°.
2. Катет, противолежащий углу 30°: \[ a = c \cdot \sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \] см.
3. Катет, прилежащий углу 30°: \[ b = c \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] см.
4. Диагональ боковой грани равна 13 см. Пусть h - высота призмы. Тогда \[ h = \sqrt{13^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \] см.
5. Площадь основания: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(5)(5\sqrt{3}) = \frac{25\sqrt{3}}{2} \] см².
6. Объем призмы: \[ V = Sh = \frac{25\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 25\sqrt{3} \cdot 6 = 150\sqrt{3} \] см³.

Ответ: Объем призмы равен 150√3 см³.

• Задача 9: Площадь боковой поверхности конуса равна 20π см², а его образующая 5 см. Найдите объем конуса.

Пошаговое решение:

1. Площадь боковой поверхности конуса: \[ S = πrl \], где r - радиус основания, l - образующая.
2. Дано S = 20π, l = 5. Тогда \[ 20π = πr(5) \], откуда \[ r = \frac{20π}{5π} = 4 \] см.
3. Высота конуса h: \[ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \] см.
4. Объем конуса: \[ V = \frac{1}{3}πr^2h \].
5. Подставляем: \[ V = \frac{1}{3}π(4^2)(3) = \frac{1}{3}π(16)(3) = 16π \] см³.

Ответ: Объем конуса равен 16π см³.

• Задача 10: Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетом 3см и прилежащим углом 60°. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, 10см. Найдите объем призмы.

Пошаговое решение:

1. В основании прямоугольный треугольник с катетом a = 3 см и прилежащим углом α = 60°.
2. Второй катет: \[ b = a \cdot \tan(60°) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] см.
3. Гипотенуза: \[ c = \frac{a}{\cos(60°)} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \] см.
4. Диагональ боковой грани равна 10 см. Пусть h - высота призмы. Тогда \[ h = \sqrt{10^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] см.
5. Площадь основания: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(3)(3\sqrt{3}) = \frac{9\sqrt{3}}{2} \] см².
6. Объем призмы: \[ V = Sh = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 9\sqrt{3} \cdot 4 = 36\sqrt{3} \] см³.

Ответ: Объем призмы равен 36√3 см³.