20.8. Обчисліть значення похідної функції ƒ у точці х: 1) f (x) = √x-16x, x = =; 2) f (x) = cos x 1-x , x = 0; 4 3) f (x) = x²-4x³, x = 2; 2x²-3x-1 x+1 x = 1. , 4) f (x) = 20.9." Матеріальна точка масою 4 кг рухається по координатній

Решим каждое задание по порядку:

1) f(x) = √(x - 16x), x₀ = 1/4

Преобразуем функцию: f(x) = √(-15x)

Производная сложной функции: f'(x) = 1 / (2√(u(x))) * u'(x), где u(x) = -15x

u'(x) = -15

f'(x) = 1 / (2√(-15x)) * (-15) = -15 / (2√(-15x))

f'(1/4) = -15 / (2√(-15 * 1/4)) = -15 / (2√(-15/4))

Так как под корнем отрицательное число, производная не существует в этой точке.

2) f(x) = cos(x) / (1 - x), x₀ = 0

Производная частного: f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v²(x), где u(x) = cos(x), v(x) = 1 - x

u'(x) = -sin(x)

v'(x) = -1

f'(x) = (-sin(x) * (1 - x) - cos(x) * (-1)) / (1 - x)²

f'(x) = (-sin(x) + xsin(x) + cos(x)) / (1 - x)²

f'(0) = (-sin(0) + 0*sin(0) + cos(0)) / (1 - 0)² = (0 + 0 + 1) / 1 = 1

3) f(x) = x⁻² - 4x⁻³, x₀ = 2

f'(x) = -2x⁻³ + 12x⁻⁴

f'(2) = -2 * 2⁻³ + 12 * 2⁻⁴ = -2 * (1/8) + 12 * (1/16) = -1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2

4) f(x) = (2x² - 3x - 1) / (x + 1), x₀ = 1

Производная частного: f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v²(x), где u(x) = 2x² - 3x - 1, v(x) = x + 1

u'(x) = 4x - 3

v'(x) = 1

f'(x) = ((4x - 3)(x + 1) - (2x² - 3x - 1) * 1) / (x + 1)²

f'(x) = (4x² + 4x - 3x - 3 - 2x² + 3x + 1) / (x + 1)²

f'(x) = (2x² + 4x - 2) / (x + 1)²

f'(1) = (2 * 1² + 4 * 1 - 2) / (1 + 1)² = (2 + 4 - 2) / 4 = 4 / 4 = 1