Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 20. Найдите объём куба.

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \). Объём куба равен \( V_{куба} = a^3 \).

Рассмотрим вершину куба. Из неё выходят три ребра, перпендикулярные друг другу. Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из этой вершины, и параллельна третьему ребру.

Пусть ребра, выходящие из вершины A, это AB, AD, AA₁. Плоскость проходит через середины ребер AB и AD. Пусть эти середины будут M и N соответственно. Плоскость параллельна ребру AA₁.

Отрезок MN, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. В нашем случае, если рассмотреть грань ABCD, то MN параллельно BD. Но плоскость не проходит через BD, она параллельна AA₁.

Рассмотрим сечение, которое отсекает плоскость. Это треугольная призма. Основанием призмы является треугольник, образованный двумя половинами рёбер и отрезком, соединяющим эти половины. Высота призмы равна длине ребра, параллельного плоскости.

Пусть ребра, выходящие из вершины A, имеют длину \( a \). Две середины находятся на расстоянии \( \frac{a}{2} \) от вершины A. Отрезок, соединяющий эти середины, имеет длину \( \frac{a}{2} \) (по теореме Фалеса или свойству средней линии треугольника, если рассмотреть грань куба). Таким образом, основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{a}{2} \).

Площадь основания призмы: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \frac{a}{2} \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8} \).

Высота призмы равна длине третьего ребра, выходящего из той же вершины, то есть \( h = a \).

Объём треугольной призмы: \( V_{призмы} = S_{осн} h = \frac{a^2}{8} a = \frac{a^3}{8} \).

По условию, объём призмы равен 20.

\( \frac{a^3}{8} = 20 \)

\( a^3 = 20 8 \)

\( a^3 = 160 \)

Объём куба равен \( a^3 \).

Следовательно, объём куба равен 160.

Ответ: 160.