Объём конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение:

Обозначим объём исходного конуса как \( V \) и его высоту как \( H \). Объём отсекаемого конуса обозначим как \( V_1 \) и его высоту как \( H_1 \).

По условию, точка делит высоту в отношении 1:4, считая от вершины. Это означает, что высота отсекаемого конуса \( H_1 \) составляет 1 часть, а высота оставшейся части — 4 части. Таким образом, полная высота \( H = H_1 + 4H_1 = 5H_1 \).

Отношение высот отсекаемого конуса к исходному конусу равно:

\( \frac{H_1}{H} = \frac{H_1}{5H_1} = \frac{1}{5} \)

Объёмы подобных тел относятся как кубы их линейных размеров (например, высот). Следовательно, отношение объёмов отсекаемого конуса к исходному конусу будет:

\( \frac{V_1}{V} = \left( \frac{H_1}{H} \right)^3 = \left( \frac{1}{5} \right)^3 = \frac{1}{125} \)

Нам дан объём исходного конуса \( V = 250 \). Теперь мы можем найти объём отсекаемого конуса \( V_1 \):

\( V_1 = V \cdot \frac{1}{125} = 250 \cdot \frac{1}{125} \)

Выполним вычисление:

\( V_1 = \frac{250}{125} = 2 \)

Таким образом, объём отсекаемого конуса равен 2.

Ответ: 2.