Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение:

Пусть дана треугольная пирамида с объемом \( V = 15 \).

Плоскость проходит через сторону основания и пересекает боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2. Это означает, что боковое ребро делится на две части, одна из которых в 2 раза меньше другой, считая от вершины.

Пусть \( h \) — высота исходной пирамиды. Тогда высота меньшей пирамиды, образованной сечением, будет \( h_1 = \frac{1}{3} h \) (так как точка делит ребро в отношении 1:2, считая от вершины, то есть отношение отрезков от вершины к общей длине равно 1/3).

Объем пирамиды пропорционален высоте при одинаковом основании. В данном случае, меньшая пирамида имеет такое же основание, как и исходная, но ее высота в 3 раза меньше.

Таким образом, объем меньшей пирамиды \( V_1 \) будет равен:

\[ V_1 = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \]

Объем большей части, на которую плоскость разбивает исходную пирамиду, будет равен разности объема исходной пирамиды и объема меньшей пирамиды:

\[ V_2 = V - V_1 = 15 - 5 = 10 \]

Нам нужно найти больший из объемов, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Это \( V_1 = 5 \) и \( V_2 = 10 \). Больший объем равен 10.

Ответ: 10