Объем продукции фирмы в 2014 г. по сравнению с 2013 г. возрос на 2%; в 2015 г. он составил 105% по отношению к объему 2014г., а в 2016 г. был в 1,2 раза больше объема 2013 г. В 2017 г. фирма выпустила продукции на сумму 25 млн руб., что на 10% больше, чем в 2016 г.; в 2018 г. – 30 млн руб. и в 2019 г. – 37 млн руб. Определите среднегодовой темп роста выпуска продукции.

Решение:

Для определения среднегодового темпа роста выпуска продукции нам нужно рассчитать объемы производства за каждый год, если они не указаны напрямую, и затем применить формулу среднегодового темпа роста.

1. 2013 г.: Пусть объем продукции в 2013 г. равен \(X\) млн руб.
2. 2014 г.: Объем вырос на 2% по сравнению с 2013 г., значит, \( 1.02X \) млн руб.
3. 2015 г.: Объем составил 105% по отношению к 2014 г., то есть \( 1.05 × (1.02X) = 1.071X \) млн руб.
4. 2016 г.: Объем был в 1,2 раза больше объема 2013 г., то есть \( 1.2X \) млн руб.
5. 2017 г.: Объем составил 25 млн руб., что на 10% больше, чем в 2016 г. Из этого следует, что \( 1.1 × (1.2X) = 25 \). Отсюда \( 1.32X = 25 \), \( X = \frac{25}{1.32} \approx 18.94 \) млн руб.
6. 2018 г.: Объем составил 30 млн руб.
7. 2019 г.: Объем составил 37 млн руб.

Теперь, зная объемы производства за 2013 г. (приблизительно 18.94 млн руб.) и 2019 г. (37 млн руб.), мы можем рассчитать среднегодовой темп роста за период с 2013 по 2019 гг. (6 лет).

Среднегодовой темп роста рассчитывается по формуле: \( \text{CAGR} = \left( \frac{\text{Конечный объем}}{\text{Начальный объем}} \right)^{\frac{1}{\text{Количество лет}}} - 1 \)

В нашем случае:

Начальный объем (2013 г.) \( \approx 18.94 \) млн руб.

Конечный объем (2019 г.) \( = 37 \) млн руб.

Количество лет \( = 6 \) (с 2013 по 2019 гг.)

\( \text{CAGR} = \left( \frac{37}{18.94} \right)^{\frac{1}{6}} - 1 \)

\( \frac{37}{18.94} \approx 1.9535 \)

\( (1.9535)^{\frac{1}{6}} \approx 1.1185 \)

\( \text{CAGR} \approx 1.1185 - 1 = 0.1185 \)

Чтобы выразить в процентах, умножим на 100:

\( 0.1185 × 100 \% = 11.85 \% \)

Однако, в вариантах ответа используется другой подход, где в числителе конечный объем, а в знаменателе объем, рассчитанный из данных 2017 г. Давайте пересчитаем, исходя из предоставленных вариантов, предполагая, что \(37\) млн руб. — это конечный объем, а \(18.9\) млн руб. — это объем в 2013 г. (уточненный из \(X = 25 / 1.1 / 1.2 = 18.94\)).

Вариант 1: \( (37/18.9)^{\frac{1}{6}}*100 \)

\( 37/18.9 \approx 1.95767 \)

\( (1.95767)^{\frac{1}{6}} \approx 1.1190 \)

\( 1.1190 * 100 \% = 111.90 \%

Это значение близко к первому варианту. Проверим расчеты в вариантах.

Проверка варианта 1:

Среднегодовой темп роста = \( (\frac{\text{объем 2019}}{\text{объем 2013}})^{\frac{1}{6}} - 1 \)

Объем 2019 = 37 млн руб.

Из условия: объем 2017 = 25 млн руб., что на 10% больше, чем в 2016 г. Значит, объем 2016 = \( 25 / 1.1 \approx 22.73 \) млн руб.

Объем 2016 = 1.2 * Объем 2013. Значит, Объем 2013 = \( 22.73 / 1.2 \approx 18.94 \) млн руб. (или \( \frac{25}{1.1 × 1.2} = \frac{25}{1.32} \approx 18.94 \)).

Тогда среднегодовой темп роста = \( (\frac{37}{18.94})^{\frac{1}{6}} - 1 \)

\( (\frac{37}{18.94})^{\frac{1}{6}} \approx (1.9535)^{\frac{1}{6}} \approx 1.1185 \)

Темп роста = \( 1.1185 - 1 = 0.1185 \), или \( 11.85 \% \)

Формула в варианте 1: \( (37/18,9)^{\frac{1}{6}}*100 \)

\( (37/18.9)^{\frac{1}{6}} \approx (1.95767)^{\frac{1}{6}} \approx 1.1190 \)

\( 1.1190*100 = 111.90 \%

Это значение подразумевает, что \(18.9\) — это начальное значение, а \(37\) — конечное, и формула применяется так: \( (\text{Конечный / Начальный})^{\frac{1}{\text{период}}} \).

Если \(18.9\) — это начальное значение, и \(37\) — конечное, то среднегодовой темп роста (увеличение) будет \(11.90\)% (а не \(111.90\)%).

Однако, если \( (37/18,9) \) — это общий прирост за 6 лет, тогда \( (37/18.9)^{1/6} \) — это среднегодовой коэффициент роста. Умножив его на 100, мы получаем \(111.9\)% как среднегодовой объем в процентах от предыдущего года.

Проверка варианта 2:

Среднегодовой темп роста = \( (37/17,36)^{\frac{1}{6}}*100 \)

Откуда могло взяться \(17.36\)?

Объем 2016 = 22.73. Объем 2013 = 18.94.

Если бы \(17.36\) было объемом 2013 года, то \(22.73 / 17.36 \approx 1.309 \). Это не \(1.2\).

Если \(17.36\) — это объем 2013 года, и \(37\) — объем 2019 года, то \( (37/17.36)^{1/6}*100 \)

\( 37/17.36 \approx 2.1313 \)

\( (2.1313)^{1/6} \approx 1.1344 \)

\( 1.1344 * 100 \% = 113.44 \%

Этот вариант также выглядит как коэффициент роста. Значит, \(17.36\) — это объем 2013 г., а \(37\) — объем 2019 г.

Проверка варианта 3:

Среднегодовой темп роста = \( (37-18,9)/6=3,02 \) млн руб.

Эта формула рассчитывает среднее абсолютное изменение за год, а не темп роста.

Исходя из предоставленных вариантов, наиболее вероятным является первый вариант, если интерпретировать \(18.9\) как объем 2013 года, а \(37\) как объем 2019 года, и формула \( (\frac{\text{Конечный}}{\text{Начальный}})^{\frac{1}{\text{период}}} \) дает среднегодовой коэффициент роста. Тогда \(111.85\)% означает, что среднегодовой прирост составляет \(11.85\) %.

Уточнение:

По условию: Объём 2016 = 1.2 * Объём 2013. Объём 2017 = 25, что на 10% больше объёма 2016. Объём 2018 = 30. Объём 2019 = 37.

Объём 2016 = \( 25 / 1.1 \approx 22.727 \)

Объём 2013 = \( 22.727 / 1.2 \approx 18.939 \) (округлим до \(18.9\) как в варианте).

Теперь у нас есть объёмы:

• 2013: \( 18.9 \) млн руб.
• 2014: \( 18.9 * 1.02 \approx 19.278 \) млн руб.
• 2015: \( 19.278 * 1.05 \approx 20.242 \) млн руб.
• 2016: \( 18.9 * 1.2 = 22.68 \) (немного отличается от \(22.727\) из-за округления \(18.9\)). Используем \(25/1.1 × 1.2 = 22.727\) для 2016 г.
• 2017: 25 млн руб.
• 2018: 30 млн руб.
• 2019: 37 млн руб.

Период с 2013 по 2019 г. — 6 лет.

Формула среднегодового темпа роста: \( \left( \frac{V_{2019}}{V_{2013}} \right)^{\frac{1}{6}} - 1 \)

\( V_{2013} \approx 18.94 \) (возьмём \(18.9\) как в варианте)

\( V_{2019} = 37 \)

\( \left( \frac{37}{18.9} \right)^{\frac{1}{6}} - 1 \)

\( \frac{37}{18.9} \approx 1.95767 \)

\( (1.95767)^{\frac{1}{6}} \approx 1.1190 \)

\( 1.1190 - 1 = 0.1190 \)

В процентах: \( 0.1190 × 100 \% = 11.90 \% \)

Вариант 1: \( (37/18,9)^{\frac{1}{6}}*100 = 111.85 \% \). Здесь \(18.9\) - объём 2013 г. Скорее всего, \(111.85\)% означает среднегодовой объём в процентах от начального, то есть \(1.1185\) как коэффициент роста. Тогда средний темп роста = \(11.85\)% .

Сравнивая с \(111.85\)%, это означает, что \(11.85\)% — это темп роста. По всей видимости, в формуле \( ( \frac{V_{end}}{V_{start}} )^{\frac{1}{n}} * 100 \) получается \(111.85\)% как результат, который затем интерпретируется как средний годовой объём, то есть \(11.85\)% — это темп роста.

Официальная формула среднегодового темпа роста (CAGR) дает процентное изменение.

\( \text{CAGR} = (\frac{\text{Конечный показатель}}{\text{Начальный показатель}})^{\frac{1}{\text{Количество лет}}} - 1 \)

\( \text{CAGR} = (\frac{37}{18.94})^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 1.1185 - 1 = 0.1185 \text{ или } 11.85 \% \)

Если же в вариантах подразумевается, что \( (37/18.9)^{\frac{1}{6}} \) — это коэффициент среднегодового роста, тогда \(1.1185 \times 100 = 111.85 \% \). Это значение в варианте 1, но с \(18.9\) вместо \(18.94\), что даёт \(111.90\)% .

Если использовать \(18.9\) и \(37\) и \(6\) лет, то \( (37/18.9)^{\frac{1}{6}} \times 100 \approx 111.90 \% \). Это очень близко к \(111.85\)% .

Выберем вариант 1.

Ответ: Среднегодовой темп роста выпуска продукции составил \( (37/18,9)^{\frac{1}{6}}*100\% = 111,85\% \).