Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение:

Пусть \( V \) — объем большего конуса, \( H \) — его высота, \( R \) — радиус основания.

По условию \( V = 16 \).

Через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию. Это означает, что высота меньшего конуса \( h = \frac{1}{2}H \).

Подобные треугольники, образующие конус, дают нам отношение радиусов и высот: \( \frac{r}{h} = \frac{R}{H} \), где \( r \) — радиус основания меньшего конуса.

Подставляя \( h = \frac{1}{2}H \), получаем \( \frac{r}{\frac{1}{2}H} = \frac{R}{H} \), откуда \( r = \frac{1}{2}R \).

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).

Объем меньшего конуса \( v \) равен \( v = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставим значения \( r = \frac{1}{2}R \) и \( h = \frac{1}{2}H \) в формулу объема меньшего конуса:

\[ v = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{2}R\right)^2 \left(\frac{1}{2}H\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{4}R^2\right) \left(\frac{1}{2}H\right) = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right) \]

Мы видим, что \( v = \frac{1}{8}V \).

Так как \( V = 16 \), то \( v = \frac{1}{8} \times 16 = 2 \).

Ответ: 2.