O является серединой CD стороны квадрата ABCD. Радиус окружности О, проходящей через вершину А, равен 1,5. Найдите площадь квадрата.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \( a \). Центр окружности O — середина стороны CD.

По условию, радиус окружности, проходящей через вершину A, равен 1,5. Это означает, что расстояние от центра O до вершины A равно 1,5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Стороны этого треугольника:

• AD = \( a \) (сторона квадрата)
• DO = \( \frac{a}{2} \) (O — середина CD, а CD=a)
• AO = 1,5 (радиус окружности)

По теореме Пифагора для треугольника ADO:

\( AD^2 + DO^2 = AO^2 \)

\( a^2 + (\frac{a}{2})^2 = (1,5)^2 \)

\( a^2 + \frac{a^2}{4} = 2,25 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{4a^2 + a^2}{4} = 2,25 \)

\( \frac{5a^2}{4} = 2,25 \)

Выразим \( a^2 \):

\( 5a^2 = 2,25 \cdot 4 \)

\( 5a^2 = 9 \)

\( a^2 = \frac{9}{5} \)

\( a^2 = 1,8 \)

Площадь квадрата равна \( S = a^2 \).

Ответ: 1,8.