O40.36. a) 2√2 ⋅ 2^(x-8) ≥ 1/2; 6) ³√125 ⋅ √5 ≤ 5 ⋅ (1/5)^(2x-1); B) (1/7)^(3x+4) ⋅ 7√7 < 1/7; г) 0,25 ⋅ (1/4)^(10-x) > 4√64

Ответ: a) x ≥ 15/2; б) x ≥ 1/8; в) x > -11/6; г) x < 7/2

Решение:

а)

• Преобразуем неравенство:

2√2 ⋅ 2^(x-8) ≥ 1/2

2^1 ⋅ 2^(1/2) ⋅ 2^(x-8) ≥ 2^(-1)

2^(1 + 1/2 + x - 8) ≥ 2^(-1)

2^(x - 13/2) ≥ 2^(-1)

• Так как основание 2 > 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

x - 13/2 ≥ -1

x ≥ -1 + 13/2

x ≥ 11/2

Ответ: x ≥ 11/2

б)

• Преобразуем неравенство:

³√125 ⋅ √5 ≤ 5 ⋅ (1/5)^(2x-1)

³√(5^3) ⋅ √(5) ≤ 5 ⋅ (5^(-1))^(2x-1)

5 ⋅ 5^(1/2) ≤ 5 ⋅ 5^(-2x+1)

5^(3/2) ≤ 5^(1-2x+1)

5^(3/2) ≤ 5^(2-2x)

• Так как основание 5 > 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

3/2 ≤ 2 - 2x

2x ≤ 2 - 3/2

2x ≤ 1/2

x ≤ 1/4

Ответ: x ≤ 1/4

в)

• Преобразуем неравенство:

(1/7)^(3x+4) ⋅ 7√7 < 1/7

(7^(-1))^(3x+4) ⋅ 7 ⋅ 7^(1/2) < 7^(-1)

7^(-3x-4) ⋅ 7^(3/2) < 7^(-1)

7^(-3x-4 + 3/2) < 7^(-1)

7^(-3x - 5/2) < 7^(-1)

• Так как основание 7 > 1, то при переходе к показателям знак неравенства меняется:

-3x - 5/2 < -1

-3x < -1 + 5/2

-3x < 3/2

x > -1/2

Ответ: x > -1/2

г)

• Преобразуем неравенство:

0,25 ⋅ (1/4)^(10-x) > 4√64

1/4 ⋅ (1/4)^(10-x) > 4 ⋅ √64

(1/4)^(1) ⋅ (1/4)^(10-x) > 4 ⋅ 8

(1/4)^(11-x) > 32

(4^(-1))^(11-x) > 32

4^(-11+x) > 32

(2^2)^(-11+x) > 2^5

2^(-22+2x) > 2^5

• Так как основание 2 > 1, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

-22 + 2x > 5

2x > 5 + 22

2x > 27

x > 27/2

Ответ: x > 27/2